最小二乘平差的统一理论和方法

概述

经典最小二乘平差

最小二乘平差的函数模型和随机模型是 \[\bm{L}=\bm{B}\bm{X}+\bm{\Delta},\quad E(\bm{\Delta})=\bm{0} \tag{2-1-1}\] \[\bm{D}_{\Delta}=\sigma_{0}^{2}\bm{Q}=\sigma_{0}^{2}\bm{P}^{-1} \tag{2-1-2}\] 引入参数的近似值 \(\bm{X}^{0}\)，令 \[\bm{X}=\bm{X}^{0}+\bm{x},\quad \bm{l}=\bm{L}-\bm{B}\bm{X}^{0}\] 则 (2-1-1) 式为 \[\bm{l}=\bm{B}\bm{x}+\bm{\Delta} \tag{2-1-3}\] 相应的误差方程为 \[\bm{V}=\bm{B}\hat{\bm{x}}-\bm{l} \tag{2-1-4}\]

在测量平差问题中，待估的未知参数一般不是被观测量，常取点的坐标为参数，如果控制网中具有足够的起算数据，仅将其他的待定点坐标作为平差参数，此时误差方程中的系数阵 \(\bm{B}\) 为列满秩，在最小二乘准则 \[\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}=\min\] 下对参数 \(\bm{x}\) 作出估计。为此得 \[\frac{\partial\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}}{\partial\hat{\bm{x}}} =2\bm{V}^{T}\bm{P}\frac{\partial\bm{V}}{\partial\hat{\bm{x}}}=\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{B}=0\] 或 \[\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{V}=0 \tag{2-1-5}\] 将误差方程 (2-1-4) 代入，即得法方程为 \[\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B}\,\hat{\bm{x}}=\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{l} \tag{2-1-6}\] 解得 \[\hat{\bm{x}}=(\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B})^{-1}\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{l}=\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{l} \tag{2-1-7}\] 按协因数传播律，\(\hat{\bm{x}}\) 的协因数阵为 \[\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}}=\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{Q}\bm{P}\bm{B}\bm{N}^{-1}=\bm{N}^{-1} \tag{2-1-8}\] 单位权方差估值为 \[\hat{\sigma}_{0}^{2}=\frac{\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}}{r}=\frac{\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}}{n-t} \tag{2-1-9}\] 式中 \(r\) 为自由度，\(n\) 为观测数，\(t\) 为未知参数的个数。这就是经典的间接平差情形。

在间接平差中，基本向量为 \(\bm{L}\,(\bm{l})\)，\(\hat{\bm{X}}\,(\hat{\bm{x}})\)，\(\bm{V}\) 和 \(\hat{\bm{L}}=\bm{L}+\bm{V}\)。已知 \(\bm{L}\) 的协因数阵 \(\bm{Q}_{LL}=\bm{Q}_{ll}=\bm{Q}\)，要求与其他基本向量的方差-协方差阵。由定义知 \(\bm{Q}_{\hat{X}\hat{X}}=\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}}\)，所以下面有关协因数阵中均将 \(\bm{l}\) 写成 \(\bm{L}\)，\(\hat{\bm{x}}\) 写成 \(\hat{\bm{X}}\)。按协因数传播律已推得各基本向量间的协因数阵为（见文献 [4] §7-3） \[\left.\begin{aligned} \bm{Q}_{LL}&=\bm{Q}\\ \bm{Q}_{\hat{X}\hat{X}}&=\bm{N}^{-1}=(\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B})^{-1}\\ \bm{Q}_{VV}&=\bm{Q}-\bm{B}\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T}\\ \bm{Q}_{\hat{L}\hat{L}}&=\bm{B}\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T}\\ \bm{Q}_{\hat{X}L}&=\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T}\\ \bm{Q}_{\hat{X}V}&=\bm{0}\\ \bm{Q}_{\hat{X}\hat{L}}&=\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T}\\ \bm{Q}_{VL}&=\bm{B}\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T}-\bm{Q}\\ \bm{Q}_{V\hat{L}}&=\bm{0}\\ \bm{Q}_{\hat{L}L}&=\bm{B}\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T} \end{aligned}\right\} \tag{2-1-10}\]

平差问题的基准

在平差问题中，如果没有足够的起算数据，只根据观测数据是无法确定上述坐标参数的，这种起算数据称为平差问题的基准。

水准网的未知参数一般是水准点高程，而被观测量是水准点之间的高差，只根据高差是不可能求得各水准点高程的。如果还考虑水准尺的尺度比，将尺度比也作为未知参数，则由高差也不可能确定尺度比，因此水准网中，为了求得各点高程，需要一个高程基准，而为了求得尺度比，则还需要一个尺度基准。

在三角网中，一般是以三角点坐标作为未知参数，被观测量是方向或角度。只根据这些观测值，不能确定网的位置、方位和大小，因此，需要一个点的位置（纵、横坐标）、一个方位和一个尺度基准。

测边网、边角网或导线网的被观测量是边长和方向（角度）、未知参数一般也是各点坐标，为了确定各点坐标，需要有一个点的位置和一个方位基准；如果再将尺度比作为参数，则也需要一个尺度基准。

一般说来，对于纯粹的 \(n\) 维空间的几何控制网，当以点位和尺度比为未知参数，被观测量是边长（或高差）和方向（或角度）时，基准的类型和个数是：

尺度基准：\(d_{1}=c_{n}^{0}=1\)；

位置基准（平移自由度）：\(d_{2}=c_{n}^{1}=n\)；

方位基准（旋转自由度）：\(d_{3}=c_{n}^{2}=\dfrac{1}{2}n(n-1)\quad(n\geq 2)\)。

水准网可以说是一维空间的控制网，它的高程基准也就是它的位置基准，所以，水准网的基准个数是 \[d_{\mathrm{I}}=d_{1}+d_{2}=c_{1}^{0}+c_{1}^{1}=2.\] 当不考虑尺度基准时，\(d_{1}=0\)，\(d_{\mathrm{I}}=1\)。

三角网、测边网、边角网和导线网都是二维平面控制网，故它们的基准个数为 \[d_{\mathrm{II}}=d_{1}+d_{2}+d_{3}=c_{2}^{0}+c_{2}^{1}+c_{2}^{2}=4.\] 以上后面三种二维平面控制网常不考虑尺度基准，此时 \(d_{\mathrm{II}}=3\)。

而对于各种三维控制网，则有 \[d_{\mathrm{III}}=d_{1}+d_{2}+d_{3}=c_{3}^{0}+c_{3}^{1}+c_{3}^{2}=7.\]

在经典间接平差中，上述基准数据是已知的，基准也可用如下的基准方程表示。

在三角网中，通常是以网中所有点的纵横坐标作为未知参数，而假定网中有两个点的坐标是固定的，或假定一个点、一条边的方位和一条边的边长是固定的。由这些固定数据构成这个网的基准。当取 \(A\)、\(B\) 两点的坐标为固定值作为基准时，其基准方程为 \[\left.\begin{aligned} X_{A}&=X_{A}^{0}\\ Y_{A}&=Y_{A}^{0}\\ X_{B}&=X_{B}^{0}\\ Y_{B}&=Y_{B}^{0} \end{aligned}\right\} \tag{2-1-11}\] 当取 \(A_{1}\) 点的坐标、\(A_{2}A_{3}\) 的方位角 \(T_{23}\) 和 \(A_{4}A_{5}\) 的边长 \(S_{45}\) 为固定值作为基准时，有基准方程 \[\left.\begin{aligned} &X_{1}=X_{1}^{0}\\ &Y_{1}=Y_{1}^{0}\\ &\arctan\frac{Y_{3}-Y_{2}}{X_{3}-X_{2}}=T_{23}\\ &\left[(X_{5}-X_{4})^{2}+(Y_{5}-Y_{4})^{2}\right]^{1/2}=S_{45} \end{aligned}\right\} \tag{2-1-12}\] 若令 \[X_{i}=X_{i}^{0}+x_{i},\qquad Y_{i}=Y_{i}^{0}+y_{i},\] 则 (2-1-11) 式可写为 \[\left.\begin{aligned} x_{A}&=0\\ y_{A}&=0\\ x_{B}&=0\\ y_{B}&=0 \end{aligned}\right\} \tag{2-1-13}\] 将 (2-2-12) 式中的非线性方程接泰勒级数展开，且仅取至一次项，则得线性化的基准方程为

\[\left.\begin{aligned} &x_{1}=0\\ &y_{1}=0\\ &\rho\frac{\sin T_{23}^{0}}{S_{23}^{0}}x_{2}-\rho\frac{\cos T_{23}^{0}}{S_{23}^{0}}y_{2} -\rho\frac{\sin T_{23}^{0}}{S_{23}^{0}}x_{3}+\rho\frac{\cos T_{23}^{0}}{S_{23}^{0}}y_{3}-f_{T}=0\\ &-\cos T_{45}^{0}x_{4}-\sin T_{45}^{0}y_{4}+\cos T_{45}^{0}x_{5}+\sin T_{45}^{0}y_{5}-f_{s}=0 \end{aligned}\right\} \tag{2-1-14}\] 式中 \[\left.\begin{aligned} -f_{T}&=T_{23}^{0}-T_{23}=\arctan\frac{Y_{3}^{0}-Y_{2}^{0}}{X_{3}^{0}-X_{2}^{0}}-T_{23}\\ -f_{s}&=S_{45}^{0}-S_{45}=\left[(X_{5}^{0}-X_{4}^{0})^{2}+(Y_{5}^{0}-Y_{4}^{0})^{2}\right]^{1/2}-S_{45} \end{aligned}\right\} \tag{2-1-15}\] 一般情况下，可使 \(f_{T}\) 和 \(f_{s}\) 的计算值为零。可见三角网间接平差的基准可由基准方程 (2-1-11)、(2-1-12) 或 (2-1-13)、(2-1-14) 式确定。

对于测边网，其位置基准和方位基准由一个固定点（\(A_{1}\)）和一条边的固定方位角（\(T_{23}\)）确定。在考虑尺度比参数时，一般是将网中一部分边长的尺度比固定为 \(\mu_{1}=1\)，作为尺度基准。此时，各观测边长的误差方程为 \[v_{jk}=-\cos T_{jk}^{0}\,x_{j}-\sin T_{jk}^{0}\,y_{j} +\cos T_{jk}^{0}\,x_{k}+\sin T_{jk}^{0}\,y_{k}-S_{jk}^{0}\delta\mu_{i}-l_{jk} \tag{2-1-16}\] 相应的四个基准方程是： \[\left.\begin{aligned} &x_{1}=0\\ &y_{1}=0\\ &\rho\frac{\sin T_{23}^{0}}{S_{23}^{0}}x_{2}-\rho\frac{\cos T_{23}^{0}}{S_{23}^{0}}y_{2} -\rho\frac{\sin T_{23}^{0}}{S_{23}^{0}}x_{3}+\rho\frac{\cos T_{23}^{0}}{S_{23}^{0}}y_{3}-f_{T}=0\\ &\delta\mu_{1}=0 \end{aligned}\right\} \tag{2-1-17}\] 还可以用固定边长确定测边网的尺度基准，或由两个固定点确定测边网的四个基准。

如果认为网中所有边长的尺度比都固定为 \(\mu=1\)，则 (2-1-17) 式中的尺度基准条件将变为 \[\delta\mu_{i}=0\] 将它代入误差方程 (2-1-16) 式，就消去了尺度比参数，这就是不考虑尺度比的情况。

边角网和导线网的基准条件与测边网相似。

水准网一般是以一个点（设为 \(A\)）的固定高程为高程基准。如果还考虑网中的观测高差有若干个尺度比参数，而将网中某一部分高差的尺度比定为 \(\mu_{1}=1\)，以此作为尺度基准。若记全网各点的高程未知参数为 \(\bm{X}=\bm{X}^{0}+\bm{x}\)，则第 \(jk\) 测段观测高差的误差方程为 \[v_{jk}=-x_{j}+x_{k}-h_{jk}^{0}\delta\mu_{i}-l_{jk} \tag{2-1-18}\] 该水准网的两个基准条件方程为 \[\left.\begin{aligned} x_{A}&=0\\ \delta\mu_{1}&=0 \end{aligned}\right\} \tag{2-1-19}\] 如果认为网中全网高差的尺度比都固定为 \(\mu_{i}=1\)，则 (2-1-19) 中的第二式变为 \(\delta\mu_{i}=0\)。将它代入 (2-1-18) 式，就消去了尺度比参数，这就是一般的不考虑高差尺度比的情况。

在三维测边网中，若设定网中各点的空间直角坐标和若干个尺度比作为未知参数，则误差方程为 \[\begin{aligned} v_{jk}={}&\Delta X_{jk}^{0}\Delta Z_{jk}^{0}\,(-x_{j}+x_{k}) +\Delta Y_{jk}^{0}\Delta Z_{jk}^{0}\,(-y_{j}+y_{k})\\ &+(\Delta Z_{jk}^{0}-S_{jk}^{02})\,(-z_{j}+z_{k}) -S_{jk}^{0}\delta\mu_{i}-l_{jk} \end{aligned} \tag{2-1-20}\] 通常取一个固定点（\(A_{1}\)），一个固定天文方位角 \(\alpha_{23}\)，两个固定的天顶距 \(\beta_{45}\)、\(\beta_{67}\) 和一部分边的尺度比作为基准，则相应的基准条件为 \[\left.\begin{aligned} &x_{1}=0\\ &y_{1}=0\\ &z_{1}=0\\ &\Delta Y_{23}^{0}\,(x_{2}-x_{3})-\Delta X_{23}^{0}\,(y_{2}-y_{3})-f_{\alpha}=0\\ &\Delta X_{45}^{0}\Delta Z_{45}^{0}\,(x_{4}-x_{5})+\Delta Y_{45}^{0}\Delta Z_{45}^{0}\,(y_{4}-y_{5}) +(\Delta Z_{45}^{0}-S_{45}^{02})\,(z_{4}-z_{5})-f_{\beta_{1}}=0\\ &\Delta X_{67}^{0}\Delta Z_{67}^{0}\,(x_{6}-x_{7})+\Delta Y_{67}^{0}\Delta Z_{67}^{0}\,(y_{6}-y_{7}) +(\Delta Z_{67}^{0}-S_{67}^{02})\,(z_{6}-z_{7})-f_{\beta_{2}}=0\\ &\delta\mu_{1}=0 \end{aligned}\right\} \tag{2-1-21}\] 如果不考虑尺度比参数，即假定全部边长的尺度比固定为 1，则可将 (2-1-21) 式中的第七式代入误差方程 (2-1-20)，从误差方程中消去尺度比参数。

可以看到，各种平差问题的基准都可由基准条件确定，这些基准条件方程经线性化后还可写成矩阵形式 \[\bm{G}_{C}^{T}\bm{x}-\bm{f}_{C}=0 \tag{2-1-22}\] 当 \(\bm{f}_{C}\) 为零时，则有基准条件方程： \[\bm{G}_{C}^{T}\bm{x}=0. \tag{2-1-23}\] 例如，三角网的基准条件 (2-1-13) 式，\(\bm{G}_{C}^{T}\) 阵为 \[\bm{G}_{C}^{T}=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0&\cdots&0\\ 0&1&0&0&0&\cdots&0\\ 0&0&1&0&0&\cdots&0\\ 0&0&0&1&0&\cdots&0 \end{pmatrix}\] 而基准条件 (2-1-14) 则有 \[\resizebox{\textwidth}{!}{$ \bm{G}_{C}^{T}=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&\cdots&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&\cdots&0\\ 0&0&\rho\dfrac{\sin T_{23}^{0}}{S_{23}^{0}}&-\rho\dfrac{\cos T_{23}^{0}}{S_{23}^{0}}& -\rho\dfrac{\sin T_{23}^{0}}{S_{23}^{0}}&\rho\dfrac{\cos T_{23}^{0}}{S_{23}^{0}}&0&0&0&0&\cdots&0\\ 0&0&0&0&0&0&-\cos T_{45}^{0}&-\sin T_{45}^{0}&\cos T_{45}^{0}&\sin T_{45}^{0}&\cdots&0 \end{pmatrix}$} \tag{2-1-24}\] 还可以看到，在同一平差问题中，选择不同的基准条件方程，将得到未知参数的不同解 \(\hat{\bm{x}}\)。在实际问题中，应根据需要来选择基准，以求定未知参数 \(\bm{X}\) 的唯一解。

在经典平差问题中，如将控制网中全部坐标参数均设为未知的。此时误差方程系数阵 \(\bm{B}\) 不能满足列满秩要求，这是未顾及已知基准情况。如果加入必要的基准方程作为约束条件，采用附有条件的间接平差法，就可得到与经典间接平差同样的结果。这是经典自由网平差情形。

最小二乘平差中各主要协因数阵的秩

了解由平差求得的各种量协因数（协方差）阵的秩，对研究平差理论是十分重要的。本段以间接平差为例加以说明。

若矩阵 \(\underset{m\times n}{\bm{A}}\) 中至少有一个 \(r\) 阶子式不为零，而其他所有 \(r+1\) 阶子式及更高阶的子式都为零，则称矩阵 \(\bm{A}\) 的秩为 \(r\)，记作 \(\operatorname{rk}(\bm{A})=r\)。

当 \(\bm{A}\) 的秩等于 \(m\) 时，称 \(\bm{A}\) 为行满秩阵，此时 \(m\leq n\)；当 \(\bm{A}\) 的秩等于 \(n\) 时，称 \(\bm{A}\) 为列满秩阵，\(m\geq n\)，如果 \(\bm{A}\) 的秩 \(\operatorname{rk}(\bm{A})<\min(m,n)\)，则称 \(\bm{A}\) 为秩亏阵。一个秩为零的矩阵的元素全部为零。若 \(m\) 阶方阵的秩等于 \(m\)，则称 \(\bm{A}\) 为满秩阵或非奇异阵。

由于在平差中推求各种量协因数阵秩的过程中，要反复运用矩阵秩的运算规则，这里不加推证地给出其运算规则：

(1) 若干个矩阵乘积的秩，不大于相乘的各矩阵的最小秩；

(2) 矩阵 \(\bm{A}\) 与非奇异阵 \(\bm{B}\) 相乘，不改变 \(\bm{A}\) 的秩；

(3) 若 \(\operatorname{rk}(\underset{m\times k}{\bm{A}})=k\)，\(\operatorname{rk}(\underset{k\times n}{\bm{B}})=k\)，则 \(\operatorname{rk}(\bm{A}\bm{B})=k\)；

(4) \(\operatorname{rk}(\bm{A}^{T}\bm{A})=\operatorname{rk}(\bm{A}\bm{A}^{T})=\operatorname{rk}(\bm{A})\)；

(5) \(\operatorname{rk}(\bm{A}+\bm{B})\leq\operatorname{rk}(\bm{A})+\operatorname{rk}(\bm{B})\)；

(6) 若 \(\bm{A}\bm{A}=\bm{A}\)，\(\bm{A}\) 为幂等阵，则 \(\bm{A}\) 的秩等于 \(\bm{A}\) 的迹，即 \(\operatorname{rk}(\bm{A})=\operatorname{tr}(\bm{A})\)。

在间接平差中，主要协因数阵为 \(\bm{Q}_{LL}=\bm{Q}\)，\(\bm{Q}_{\hat{X}\hat{X}}\)，\(\bm{Q}_{VV}\) 和 \(\bm{Q}_{\hat{L}\hat{L}}\)。下面导出它们的秩。

已知 \[\operatorname{rk}(\underset{n\times n}{\bm{Q}})=\operatorname{rk}(\underset{n\times n}{\bm{P}})=n \tag{2-1-25}\] 这是因为 \(\bm{L}\) 中各 \(L_{i}\) 与 \(L_{j}\) 之间是函数独立的，即它们之间不存在函数关系，协因数阵 \(\bm{Q}\) 的行列式不能为零，\(\bm{Q}\) 为满秩阵，\(\bm{P}=\bm{Q}^{-1}\) 亦为满秩阵。

已知 \[\operatorname{rk}(\underset{n\times t}{\bm{B}})=t \tag{2-1-26}\] 由于平差中有足够的基准起算数据。参数之间也是函数独立的，相应的系数阵 \(\bm{B}\) 中必存在 \(t\) 个列向量线性无关，存在 \(t\) 阶子式不为零。

下面推求 \(\bm{Q}_{\hat{X}\hat{X}}\)、\(\bm{Q}_{VV}\) 和 \(\bm{Q}_{\hat{L}\hat{L}}\) 的秩。

(1) \[\operatorname{rk}(\underset{t\times t}{\bm{Q}_{\hat{X}\hat{X}}})=t \tag{2-1-27}\] 这是因为 \[\operatorname{rk}(\bm{Q}_{\hat{X}\hat{X}})=\operatorname{rk}(\bm{N}^{-1})=\operatorname{rk}(\bm{N}) =\operatorname{rk}(\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B})=\operatorname{rk}(\bm{B})=t.\]

(2) \[\operatorname{rk}(\bm{Q}_{VV})=n-t=r \tag{2-1-28}\] 由 (2-1-10) 式中 \(\bm{Q}_{VV}\) 关系式知 \[\bm{P}\bm{Q}_{VV}=\bm{E}-\bm{P}\bm{B}\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T}\] 因为 \[(\bm{P}\bm{Q}_{VV})\,(\bm{P}\bm{Q}_{VV})=\bm{P}\bm{Q}_{VV}\] 故 \(\bm{P}\bm{Q}_{VV}\) 为幂等阵，根据秩运算规则 (6) 知，\(\bm{P}\bm{Q}_{VV}\) 的秩等于其迹，即 \[\begin{aligned} \operatorname{rk}(\bm{P}\bm{Q}_{VV})&=\operatorname{tr}(\bm{P}\bm{Q}_{VV}) =\operatorname{tr}(\bm{E}-\bm{P}\bm{B}\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T}) =\operatorname{tr}(\underset{n\times n}{\bm{E}})-\operatorname{tr}(\bm{P}\bm{B}\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T})\\ &=\operatorname{tr}(\underset{n\times n}{\bm{E}})-\operatorname{tr}(\underset{t\times t}{\bm{E}})=n-t=r \end{aligned}\] 式中顾及了迹运算规则：\(\operatorname{tr}(\bm{A}\bm{B})=\operatorname{tr}(\bm{B}\bm{A})\)，即 \[\operatorname{tr}(\bm{P}\bm{B}\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T})=\operatorname{tr}(\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B}\bm{N}^{-1}) =\operatorname{tr}(\bm{N}\bm{N}^{-1})=\operatorname{tr}(\underset{t\times t}{\bm{E}})\] 而 \(\operatorname{rk}(\bm{P}\bm{Q}_{VV})=\operatorname{rk}(\bm{Q}_{VV})\)，(2-1-28) 式得证。\(r\) 为多余观测数，统计学中称为自由度。

(3) \[\operatorname{rk}(\bm{Q}_{\hat{L}\hat{L}})=t \tag{2-1-29}\] 由 (2-1-10) 式中 \(\bm{Q}_{\hat{L}\hat{L}}\) 关系式知 \[\bm{P}\bm{Q}_{\hat{L}\hat{L}}\bm{P}\bm{Q}_{\hat{L}\hat{L}} =\bm{P}\bm{B}\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B}\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T} =\bm{P}\bm{B}\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T}=\bm{P}\bm{Q}_{\hat{L}\hat{L}}\] 即 \(\bm{P}\bm{Q}_{\hat{L}\hat{L}}\) 为幂等阵，则有 \[\operatorname{rk}(\bm{Q}_{\hat{L}\hat{L}})=\operatorname{rk}(\bm{P}\bm{Q}_{\hat{L}\hat{L}}) =\operatorname{tr}(\bm{P}\bm{B}\bm{N}^{-1}\bm{B}^{T}) =\operatorname{tr}(\bm{N}\bm{N}^{-1})=\operatorname{tr}(\bm{E})=t.\] 即平差值 \(\hat{\bm{L}}\) 的协因数阵 \(\bm{Q}_{\hat{L}\hat{L}}\) 的秩等于必要观测数 \(t\)。即间接平差中的参数的个数。

现代最小二乘平差概述

在线性模型 (2-1-1)、(2-1-2) 下，在经典平差基础上发展起来的秩亏自由网平差、最小二乘滤波、推估和配置（拟合推估）、具有奇异协方差阵的平差等方法，一般称其为现代最小二乘平差方法。

如果将网中全部点的坐标作为平差参数，列出误差方程，此时的坐标参数个数比上述间接平差相应参数多了 \(d\) 个，\(d\) 就是间接平差中必要起始数据的个数。在这种情况下，误差方程 (2-1-4) 中的 \(\bm{B}\) 产生列亏，列亏数为 \(d\)。这种没有足够起始数据的平差问题，就是 20 世纪 70 年代发展起来的秩亏自由网平差问题。

系数阵 \(\bm{B}\) 列亏，参数的最小二乘解不唯一，也要考虑平差基准。采用上述引入 \(d\) 个起算数据的约束条件，就是经典自由网平差，即仅具有必要起算数据的间接平差。没有或不足起算数据情况下就要采用实用上需要的其他基准，基准不同其最小二乘解也各异。

秩亏自由网平差

秩亏自由网平差，在测量数据处理中，特别是在变形测量分析、最优化设计方法、近景摄影测量数据处理等方面得到广泛应用。

平差参数从非随机扩展至随机变量，是平差理论在 20 世纪 60 年代末期的一个重大进展。由此出现了一种新的平差方法，即滤波、推估和配置（或称拟合推估），起初应用于重力异常和垂线偏差的滤波和协方差推估，此后发展在附加系统参数平差，控制网的相关连接、坐标转换等许多方面得到应用。

配置问题不仅可以估计函数模型中的非随机和随机参数，而且还可推估仅与模型中随机参数有协方差联系、与观测值并无关系的未测点参数，这一特点从理论上解决了过去认为未测点参数在平差中不可估的难题。

在一般平差问题中出现的观测值，彼此间可以误差独立或误差相关，此时的协方差阵 \(D_{\Delta}\) 满秩。如果参与平差的观测值间出现函数相关情况，此时的 \(D_{\Delta}\)，其行列式为零，即 \(|D_{\Delta}|=0\)，产生了具有奇异协方差阵的平差问题。应用于变形监测分析、大地测量反演等多种实际问题。

综观平差问题的函数模型和随机模型，从数学角度分析，无非是函数模型中系数阵是列满秩还是秩列亏；待估参数是非随机量还是随机量或两者兼有之以及观测量的协方差阵是满秩还是奇异，相应地产生了上述各种现代测量平差方法。

如果给定的平差函数模型和随机模型，并不区分系数阵是否秩亏，待估参数的随机性以及观测量协方差阵是否奇异，采用最小二乘准则进行平差，就称为最小二乘平差的统一方法，其理论就是最小二乘平差的统一理论。

本章在已学过测量平差基础方法，即经典的平差方法基础上，阐述所谓的各种现代最小二乘平差方法，最后介绍最小二乘平差的统一理论。

平差原理

秩亏自由网平差的函数模型和随机模型仍是 (2-1-1)、(2-1-2)，其误差方程为 \[\underset{n\times 1}{\bm{V}}=\underset{n\times u}{\bm{B}}\,\underset{u\times 1}{\hat{\bm{x}}}-\underset{n\times 1}{\bm{l}} \tag{2-2-1}\] 式中 \(u\) 为网中全部点坐标参数的个数，系数阵的秩 \(\operatorname{rk}(\bm{B})=t<u\)，秩亏数 \(d=u-t\)，按最小二乘原理 \(\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}=\min\)，\(\bm{P}\) 为非奇异，所得法方程为 \[\bm{N}\hat{\bm{x}}=\bm{W} \tag{2-2-2}\] \(\bm{W}=\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{l}\)，\(\operatorname{rk}(\bm{N})=\operatorname{rk}(\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B})=t<u\)，\(\bm{N}\) 奇异，法方程具有无穷多组解。

在一个不设基准的平差问题即秩亏自由网中，若设其未知参数的个数为 \(u\)，必要观测数为 \(t<u\)，则其基准的个数应为 \(d=u-t\)，所以上述的秩亏数 \(d\) 就是秩亏自由网中的基准亏损数。

为了在秩亏自由网中求得未知参数的唯一解，需要对网中 \(u\) 个参数给定 \(d\) 个基准约束条件。例如，对于二维测角网，令其中两个点的坐标为已知，并取已知坐标为其近似值，或固定其中一个点的坐标，一条边的边长和方位角，就可给出诸如 (2-1-3) 或 (2-1-14) 式的基准约束条件。就可唯一解出在此基准约束下的参数估值，这就是经典自由网平差情形。

一般，为了获得未知参数的惟一解，给定加权的基准约束条件为 \[\underset{d\times u}{\bm{S}^{T}}\,\underset{u\times u}{\bm{P}_{x}}\,\underset{u\times 1}{\hat{\bm{x}}}=0 \tag{2-2-3}\] 式中 \(\operatorname{rk}(\bm{S})=d\)，而且 \[\operatorname{rk}\begin{bmatrix}\bm{B}\\ \bm{S}^{T}\end{bmatrix}=u \tag{2-2-4}\] \[\bm{B}\bm{S}=0 \tag{2-2-5}\] 左乘 \(\bm{B}^{T}\bm{P}\)，即得 \[\bm{N}\bm{S}=0 \tag{2-2-6}\] \(\bm{S}^{T}\) 行满秩，表示 (2-2-3) 式中 \(d\) 个方程互不相关，条件 (2-2-5) 表示所增加的 \(d\) 个条件与误差方程互独立。由 (2-2-6) 式知，\(\bm{S}\) 是矩阵 \(\bm{N}\) 的 \(d\) 个零特征值所对应的 \(d\) 个互不相关的特征向量所构成的矩阵，可由 \(\bm{N}\) 的特征值方程求出。\(\bm{P}_{x}\) 称为基准权，\(\bm{P}_{x}\) 不同取值反映了所取的基准约束不相同，亦即 \(\bm{P}_{x}\) 对应了所选的基准。

按最小二乘原理，令函数 \[\varphi=\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}+2\bm{K}^{T}(\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}})=\min \tag{2-2-7}\] 得法方程为 \[\left.\begin{aligned} \bm{N}\hat{\bm{x}}+\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{K}&=\bm{W}\\ \bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}&=0 \end{aligned}\right\} \tag{2-2-8}\] 将上式中第一式左乘 \(\bm{S}^{T}\)，顾及 (2-2-5) 和 (2-2-6) 式得 \[\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{K}=0\] 因二次型 \(\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\bm{S}\) 不能为零，故必有 \[\bm{K}=0\] 于是 (2-2-7) 式为 \[\varphi=\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}=\min\] 可见，秩亏自由网平差的最小二乘原则与未知参数附加的基准约束无关，亦即 \(\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}\) 是一个不变量，平差所得的改正数 \(\bm{V}\) 不因所取基准约束不同而异，这是一个重要性质。

将 (2-2-8) 式中的第二式左乘 \(\bm{P}_{x}\bm{S}\) 后与第一式相加，顾及 \(\bm{K}=0\)，可得 \[(\bm{N}+\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x})\,\hat{\bm{x}}=\bm{W} \tag{2-2-9}\] 由 (2-2-4) 式知系数阵满秩，令 \[\bm{Q}_{P}=(\bm{N}+\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x})^{-1} \tag{2-2-10}\] 则参数估计为 \[\hat{\bm{x}}_{P}=\bm{Q}_{P}\bm{W} \tag{2-2-11}\] 按协因数传播律，\(\hat{\bm{x}}\) 的协因数为 \[\bm{Q}_{\hat{x}_{P}}=\bm{Q}_{P}\bm{N}\bm{Q}_{P} \tag{2-2-12}\] 顾及 \[\bm{Q}_{P}\,(\bm{N}+\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x})=\bm{E} \tag{2-2-13}\] 上式也可写成 \[\bm{Q}_{\hat{x}_{P}}=\bm{Q}_{P}-\bm{Q}_{P}\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\bm{Q}_{P} \tag{2-2-14}\]

在实际计算时，可将 \(\bm{S}\) 标准化为 \(\bm{G}\)，使满足 \[\bm{G}^{T}\bm{P}_{x}\bm{G}=\bm{E} \tag{2-2-15}\] 用 \(\bm{S}\) 右乘 (2-2-13) 式，考虑 \(\bm{N}\bm{S}=0\)，得 \[\bm{Q}_{P}\bm{P}_{x}\bm{S}=\bm{S}(\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\bm{S})^{-1} \tag{2-2-16}\] 将 (2-2-16) 式代入 (2-2-14) 式，顾及 (2-2-15) 式可得 \[\bm{Q}_{\hat{x}_{P}}=\bm{Q}_{P}-\bm{G}\bm{G}^{T} \tag{2-2-17}\] 单位权方差估计为 \[\hat{\sigma}_{0}^{2}=\frac{\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}}{n-R(\bm{B})} \tag{2-2-18}\]

\(\bm{S}\) 的具体形式

由 (2-2-6) 式确定的 \(\bm{S}\)，具体形式可取为：

一维水准网，秩亏数 \(d=1\) \[\underset{1\times m}{\bm{S}^{T}}=\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\end{pmatrix} \tag{2-2-19}\] 三维 GPS 网，秩亏数 \(d=3\) \[\underset{3\times 3m}{\bm{S}^{T}}=\begin{pmatrix}\underset{3\times 3}{\bm{E}}&\bm{E}&\cdots&\bm{E}\end{pmatrix} \tag{2-2-20}\] 二维测边网，秩亏数 \(d=3\) \[\underset{3\times 2m}{\bm{S}^{T}}=\begin{pmatrix} 1&0&1&0&\cdots&1&0\\ 0&1&0&1&\cdots&0&1\\ -Y_{1}^{0}&X_{1}^{0}&-Y_{2}^{0}&X_{2}^{0}&\cdots&-Y_{m}^{0}&X_{m}^{0} \end{pmatrix} \tag{2-2-21}\] 二维测角网，秩亏数 \(d=4\) \[\underset{4\times 2m}{\bm{S}^{T}}=\begin{pmatrix} 1&0&1&0&\cdots&1&0\\ 0&1&0&1&\cdots&0&1\\ -Y_{1}^{0}&X_{1}^{0}&-Y_{2}^{0}&X_{2}^{0}&\cdots&-Y_{m}^{0}&X_{m}^{0}\\ X_{1}^{0}&Y_{1}^{0}&X_{2}^{0}&Y_{2}^{0}&\cdots&X_{m}^{0}&Y_{m}^{0} \end{pmatrix} \tag{2-2-22}\] 以上均假设控制网总点数为 \(m\)。

重心基准的秩亏自由网平差

采用重心基准，基准权设为单位阵，\(\bm{P}_{x}=\bm{E}\)，一般称为普通秩亏自由网平差。平差模型为 \[\left.\begin{aligned} \bm{V}&=\bm{B}\hat{\bm{x}}-\bm{l}\\ \bm{S}^{T}\hat{\bm{x}}&=0\\ \bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}&=\min \end{aligned}\right\} \tag{2-2-23}\] 由 (2-2-10)、(2-2-11)、(2-2-14)、(2-2-17) 式，得模型的参数估计为 \[\hat{\bm{x}}_{r}=\bm{Q}_{r}\bm{W}=(\bm{N}+\bm{S}\bm{S}^{T})^{-1}\bm{W} \tag{2-2-24}\] \[\bm{Q}_{\hat{x}_{r}}=\bm{Q}_{r}-\bm{Q}_{r}\bm{S}\bm{S}^{T}\bm{Q}_{r} \tag{2-2-25}\] 或（\(\bm{G}^{T}\bm{G}=\bm{E}\)） \[\bm{Q}_{\hat{x}_{r}}=\bm{Q}_{r}-\bm{G}\bm{G}^{T} \tag{2-2-26}\] 下面以水准网为例，说明重心基准的由来。

对于水准网，基准约束 \(\bm{S}^{T}\hat{\bm{x}}=0\) 的具体形式为 \[\hat{x}_{1}+\hat{x}_{2}+\cdots+\hat{x}_{m}=0\] 平差后各点高程的平均值为 \[\begin{aligned} \overline{\hat{X}}&=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\hat{X}_{i} =\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(X_{i}^{0}+\hat{x}_{i})\\ &=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}X_{i}^{0}=\overline{X}^{0} \end{aligned} \tag{2-2-27}\] 亦即平差后各点高程的平均值 \(\overline{\hat{X}}\) 等于平差前各点高程近似值的平均值 \(\overline{X}^{0}\)，水准网的重心高程不变。故称为重心基准，这也说明秩亏自由网平差基准取决于所取的坐标近似值系统。

拟稳平差

以拟稳基准的秩亏自由网平差称为拟稳平差。

将网中参数分为两类，设 \[\underset{1\times u}{\bm{x}^{T}}=\begin{pmatrix}\underset{1\times u_{1}}{\bm{x}_{1}^{T}}&\underset{1\times u_{2}}{\bm{x}_{2}^{T}}\end{pmatrix}\] 其基准权为 \[\bm{P}_{x}=\begin{bmatrix} \underset{u_{1}\times u_{1}}{\bm{O}}&\bm{O}\\ \bm{O}&\underset{u_{2}\times u_{2}}{\bm{E}} \end{bmatrix}\] 式中 \(u_{1}+u_{2}=u\)，\(u_{2}>d\)。

基准约束为 (2-2-3) 式，令 \[\underset{d\times u}{\bm{S}^{T}}=\begin{pmatrix}\underset{d\times u_{1}}{\bm{S}_{1}^{T}}&\underset{d\times u_{2}}{\bm{S}_{2}^{T}}\end{pmatrix}\] 则拟稳平差的基准约束条件为 \[\bm{S}_{2}^{T}\hat{\bm{x}}_{2}=0 \tag{2-2-28}\] 顾及上述关系式，由 (2-2-11)、(2-2-10) 式得 \[\hat{\bm{x}}_{s}=\bm{Q}_{s}\bm{W}=(\bm{N}+\bm{S}_{2}\bm{S}_{2}^{T})^{-1}\bm{W} \tag{2-2-29}\] \[\bm{S}_{s}^{T}=\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}=\begin{pmatrix}0&\bm{S}_{2}^{T}\end{pmatrix} \tag{2-2-30}\] 由 (2-2-16) 式得 \[\bm{Q}_{s}\bm{S}_{s}=\bm{S}(\bm{S}_{2}^{T}\bm{S}_{2})^{-1} \tag{2-2-31}\] 采用 \(\bm{S}_{2}\) 的标准化矩阵 \(\bm{G}_{2}\)，即 \(\bm{G}_{2}^{T}\bm{G}_{2}=\bm{E}\)，将上式代入 (2-2-14) 式得 \[\bm{Q}_{\hat{x}_{s}}=\bm{Q}_{s}-\bm{G}\bm{G}^{T} \tag{2-2-32}\] 拟稳平差是全部网点分为两部分 \(\bm{X}_{1}\) 和 \(\bm{X}_{2}\)，\(\bm{X}_{2}\) 是拟稳点组的坐标参数，基准约束条件 (2-2-28) 仅包含参数 \(\bm{X}_{2}\)，所以拟稳基准实质就是拟稳点组的重心基准。

当所取的 \(u_{2}=d\) 时，拟稳平差转化为经典自由网平差。

以上所述的秩亏自由网平差方法，一般称为附加（基准）条件法。其他的平差方法还有广义逆法，伪观测法、直接法以及消去条件法等。

普通秩亏自由网平差由 Meissl 1962 年提出，1971 年、1972 年 Mittermayer 分别提出广义逆解法和附加条件法，周江文于 1980 年提出拟稳平差，采用了广义逆解法。我们将其扩展至附加条件法及带基准权的秩亏自由网平差，并建立了上述的附加条件法体系。

基准变换——相似变换法

经典自由网平差、秩亏自由网平差和拟稳平差，虽然具有各自不同的基准条件，但并不影响最小二乘原则 \(\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}=\min\)，所以各法的参数估计都是一种最小二乘解，这是上述各类自由网平差的基本特点。具体地说，经典自由网平差的解和其他类自由网平差的解都满足法方程 \(\bm{N}\bm{x}=\bm{W}\)，而且求得的改正数 \(\bm{V}\) 也不因所选不同基准而异，其相对网形相似，故可采用相似变换法进行基准变换。

设有满足法方程的不同基准的两个最小二乘解 \(\hat{\bm{x}}_{1}\) 和 \(\hat{\bm{x}}_{2}\)，即下式成立 \[\begin{gathered} \bm{N}\hat{\bm{x}}_{1}=\bm{W}\\ \bm{N}\hat{\bm{x}}_{2}=\bm{W} \end{gathered}\] 两式相减，得 \[\bm{N}\,(\hat{\bm{x}}_{2}-\hat{\bm{x}}_{1})=0\] 已知 \(\bm{N}\bm{S}=0\)，\(\bm{S}\) 为 \(\operatorname{rk}(\bm{S})=d\) 的 \(u\times d\) 矩阵，故有 \[\hat{\bm{x}}_{2}-\hat{\bm{x}}_{1}=\bm{S}\bm{D}\] 或 \[\hat{\bm{x}}_{2}=\hat{\bm{x}}_{1}+\bm{S}\bm{D} \tag{2-2-33}\] 式中 \(\bm{D}\) 为 \(d\) 维向量。如 \(d=4\)，即二维平面坐标相似变换，\(\bm{D}\) 中元素为纵、横坐标平移量，坐标轴旋转因子和尺度缩放因子。\(\bm{D}\) 中元素都是微量，(2-2-33) 式就是这种情况的相似变换公式。

设已知一个最小二乘解 \(\hat{\bm{x}}\)，协因数为 \(\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}}\)，现要求变换具有基准 \(\hat{\bm{x}}_{P}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}_{P}=\min\) 的最小二乘解 \(\hat{\bm{x}}_{P}\)。

利用 (2-2-33) 式，写成 \[\hat{\bm{x}}_{P}=\hat{\bm{x}}+\bm{S}\bm{D} \tag{2-2-34}\] \(\bm{D}\) 是属于由 \(\hat{\bm{x}}\) 变换成 \(\hat{\bm{x}}_{P}\) 时的转换因子向量，为此要求 \[\frac{\partial\hat{\bm{x}}_{P}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}_{P}}{\partial\bm{D}} =2\hat{\bm{x}}_{P}^{T}\bm{P}_{x}\bm{S}=0\] 于是有 \[\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}_{P}=\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}(\hat{\bm{x}}+\bm{S}\bm{D})=0 \tag{2-2-35}\] 得 \[\bm{D}=-(\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\bm{S})^{-1}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}} \tag{2-2-36}\] 这是由 \(\hat{\bm{x}}\) 变换成 \(\hat{\bm{x}}_{P}\) 的转换因子计算公式。

将上式代入 (2-2-34) 式得 \[\hat{\bm{x}}_{P}=(\bm{E}-\bm{S}(\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\bm{S})^{-1}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x})\,\hat{\bm{x}} =\bm{H}_{P}\hat{\bm{x}} \tag{2-2-37}\] 其中令变换矩阵 \[\bm{H}_{P}=\bm{E}-\bm{S}(\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\bm{S})^{-1}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x} \tag{2-2-38}\] 于是 \(\hat{\bm{x}}_{P}\) 的协因数则可写成 \[\bm{Q}_{\hat{x}_{P}\hat{x}_{P}}=\bm{H}_{P}\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}}\bm{H}_{P}^{T} \tag{2-2-39}\] (2-2-37) 式和 (2-2-39) 式就是基准变换公式。

特别地，当 \(\bm{P}_{x}=\bm{E}\)，则由 \(\hat{\bm{x}}\) 变换成 \(\hat{\bm{x}}_{p}\) 的计算公式为 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{x}}_{p}&=(\bm{E}-\bm{S}(\bm{S}^{T}\bm{S})^{-1}\bm{S}^{T})\,\hat{\bm{x}}=\bm{H}_{r}\hat{\bm{x}}\\ \bm{Q}_{\hat{x}_{r}\hat{x}_{r}}&=\bm{H}_{r}\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}}\bm{H}_{r}^{T} \end{aligned}\right\} \tag{2-2-40}\] 这是重心基准下参数估计公式。

当 \(\bm{P}_{x}=\begin{pmatrix}0&\\ &\underset{u_{2}\times u_{2}}{\bm{E}}\end{pmatrix}\) 时，则有 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{x}}_{p}&=(\bm{E}-\bm{S}(\bm{S}_{2}^{T}\bm{S}_{2})^{-1}\bm{S}_{2}^{T})\,\hat{\bm{x}}=\bm{H}_{s}\hat{\bm{x}}\\ \bm{Q}_{\hat{x}_{s}\hat{x}_{s}}&=\bm{H}_{s}\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}}\bm{H}_{s}^{T} \end{aligned}\right\} \tag{2-2-41}\] 这是拟稳基准下参数估计公式。顺便指出，当 \(u_{2}=d\) 时，(2-2-41) 式即为由任一最小二乘解转换成经典自由网平差公式。

\(\hat{\bm{x}}_{P}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}_{P}=\min\) 与 \(\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}_{P}=0\) 等价

以上导出的 (2-2-35) 式是一个重要公式，从理论上证明了最小范数准则 \[\hat{\bm{x}}_{P}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}_{P}=\min\] 与基准约束条件 \[\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}_{P}=0\] 等价。亦即上述的秩亏自由网平差模型 \[\left.\begin{aligned} \bm{V}&=\bm{B}\hat{\bm{x}}-\bm{l}\\ \bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}&=0\\ \bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}&=\min \end{aligned}\right\} \tag{2-2-42}\] 与 \[\left.\begin{aligned} \bm{V}&=\bm{B}\hat{\bm{x}}-\bm{l}\\ \bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}&=\min\\ \hat{\bm{x}}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}&=\min \end{aligned}\right\} \tag{2-2-43}\] 等价，两者平差结果必然相同。证明了基准条件与基准要求 \(\hat{\bm{x}}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}=\min\) 等价，这是上述附加条件法的理论依据。

此外还可证明最小范数准则与下式等价 \[\operatorname{tr}(\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}}\bm{P}_{x})=\min \tag{2-2-44}\] 由 \(\hat{\bm{x}}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}\) 的数学期望 \[\begin{aligned} E(\hat{\bm{x}}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}})&=E(\operatorname{tr}(\hat{\bm{x}}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}))\\ &=E(\operatorname{tr}(\hat{\bm{x}}\hat{\bm{x}}^{T}\bm{P}_{x})) =\operatorname{tr}(E(\hat{\bm{x}}\hat{\bm{x}}^{T})\,\bm{P}_{x}) \end{aligned}\] 及 \[D(\hat{\bm{x}})=E(\hat{\bm{x}}\hat{\bm{x}}^{T})-E(\hat{\bm{x}})\,E^{T}(\hat{\bm{x}})\] 可得 \[E(\hat{\bm{x}}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}) =\sigma_{0}^{2}\operatorname{tr}(\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}}\bm{P}_{x}) +\operatorname{tr}(E^{T}(\hat{\bm{x}})\,\bm{P}_{x}E(\hat{\bm{x}}))\] 上式右边第二项为常量，上述等价性得证。

当 \(\bm{P}_{x}=\bm{E}\) 时，则有 \[\operatorname{tr}(\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}})=\min \tag{2-2-45}\] 当 \(\bm{P}_{x}=\operatorname{diag}(\bm{O}\quad \underset{u_{2}\times u_{2}}{\bm{E}})\) 时，则有 \[\operatorname{tr}(\bm{Q}_{\hat{x}_{2}\hat{x}_{2}})=\min \tag{2-2-46}\] 亦即自由网在重心基准下的参数估计具有最小迹的性质，而拟稳基准下仅拟稳点坐标参数估计具有最小迹。

例 2-2-1

在图 2-1 的水准网中，观测高差、距离和各待定点高程近似值列于表 2-1 中。分别进行下列自由网平差：

(1) 以 6 号点为固定点的经典自由网平差；

(2) 以重心基准的自由网平差，\(\bm{P}_{x}=\bm{E}\)；

(3) 以 1，2，5，6 四个点为拟稳基准的拟稳平差，\(\bm{P}_{x}=\operatorname{diag}\begin{bmatrix}1&1&0&0&1&1\end{bmatrix}\)。

各种平差的未知参数估值分别记为 \(\hat{\bm{x}}_{c}\)、\(\hat{\bm{x}}_{r}\)、\(\hat{\bm{x}}_{s}\) 及解向量的各范数值列于表 2-2。参数估值的协因数（取其主对角元）及其迹列于表 2-3 中。

将未知参数的估值 \(\hat{\bm{x}}_{c}\)、\(\hat{\bm{x}}_{r}\) 和 \(\hat{\bm{x}}_{s}\) 分别代入误差，计算出高差改正数 \(\bm{V}\) 的值也列于表 2-1 中。

误差方程 \[\bm{V}=\begin{bmatrix} -1&1&&&&\\ -1&&&1&&\\ -1&&&&1&\\ &-1&1&&&\\ &-1&&1&&\\ &-1&&&&1\\ &&-1&1&&\\ &&-1&&1&\\ &&&&-1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{x}_{1}\\ \hat{x}_{2}\\ \hat{x}_{3}\\ \hat{x}_{4}\\ \hat{x}_{5}\\ \hat{x}_{6} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1\\ 4\\ 5\\ 8\\ 16\\ 2\\ -13\\ -20\\ -1 \end{bmatrix}_{(\mathrm{mm})}\] 由表 2-2 和表 2-3 的所列数值，可清楚地看到各种自由网平差所具有的特点：

(1) 各法所得的改正数 \(\bm{V}\) 相同，均具有 \(\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}=\min\)。

(2) 普通秩亏自由网平差 \(\sum\limits_{i=1}^{6}\hat{x}_{i}=0\)，且有 \(\hat{\bm{x}}^{T}\hat{\bm{x}}=\min\)（\(\hat{\bm{x}}^{T}\hat{\bm{x}}=248.38\)）和 \(\operatorname{tr}(\bm{Q}_{\hat{x}})=\min\)（\(\operatorname{tr}(\bm{Q}_{\hat{x}})=29.40\)）。

(3) 拟稳平差满足 \(\sum\limits_{i}\hat{x}_{i}=0\) 且有 \(\hat{\bm{x}}_{\mathrm{I}}^{T}\hat{\bm{x}}_{\mathrm{I}}=\min\)（\(\hat{\bm{x}}_{\mathrm{I}}^{T}\hat{\bm{x}}_{\mathrm{I}}=1.01\)）和 \(\operatorname{tr}(\bm{Q}_{\hat{x}_{\mathrm{I}}})=\min\)（\(\operatorname{tr}(\bm{Q}_{\hat{x}_{\mathrm{I}}})=20.47\)）。

(4) 经典平差可看作一种特殊拟稳平差，满足 \(\hat{x}_{6}=0\)，\(\operatorname{tr}(\bm{Q}_{\hat{x}_{6}})=0\)。

(5) 总之，各种秩亏自由网平差均满足 \(\sum\limits_{i}\bm{P}_{x}\hat{x}_{i}=0\) 且有 \(\hat{\bm{x}}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}=\min\)。

秩亏自由网的广义逆解法

秩亏自由网平差按附加基准约束的模型 (2-2-42) 进行平差，称为附加条件法，广义逆解法则采用与 (2-2-42) 的等价模型 (2-2-43) 进行解算。

由 (2-2-43) 的前两式，\(\bm{x}\) 的最小二乘解可由以下法方程得出 \[\bm{N}\bm{x}=\bm{W} \tag{2-2-47}\] 此解不唯一，因 \(\bm{N}\) 为奇异阵。考虑参数约束要求 \[\hat{\bm{x}}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}=\min\] 由 (2-2-47) 式可解得参数加权最小范数的唯一解为 \[\hat{\bm{x}}_{p}=\bm{N}_{P_{x}}^{m}\bm{W} \tag{2-2-48}\] 式中 \(\bm{N}_{P_{x}}^{m}\) 是法方程系数阵 \(\bm{N}\) 的加权最小范数逆，\(\bm{N}_{P_{x}}^{m}\) 不唯一，但其解 \(\hat{\bm{x}}_{p}\) 唯一。

根据加权最小范数逆的定义：对于相容方程 \(\bm{N}\bm{X}=\bm{W}\)，如果 \(\|\bm{X}\|=(\bm{X}^{T}\bm{P}_{x}\bm{X})^{1/2}\)，则同时满足 \[\bm{N}\bm{G}\bm{N}=\bm{N},\quad (\bm{G}\bm{N})^{T}\bm{P}_{x}=\bm{P}_{x}\bm{G}\bm{N} \tag{2-2-49}\] 的 \(\bm{G}\)，称为 \(\bm{N}\) 的加权最小范数逆，记为 \(\bm{N}_{P_{x}}^{m}\)。

可以证明，附加条件法参数解 (2-2-11) 中的 \[\bm{Q}_{p}=(\bm{N}+\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x})^{-1}\] 是 \(\bm{N}\) 的一个加权最小范数逆。先证明一个有用的等式。由 \[\bm{Q}_{p}\,(\bm{N}+\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x})=\bm{E}\] 两边右乘 \(\bm{S}\)，考虑 \(\bm{N}\bm{S}=0\)，得 \[\bm{Q}_{p}\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\bm{S}=\bm{S}\] 或 \[\bm{Q}_{p}\bm{P}_{x}\bm{S}=\bm{S}(\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\bm{S})^{-1} \tag{2-2-50}\] 由 (2-2-49) 式，得 \[\begin{aligned} \bm{N}\bm{Q}_{p}\bm{N}&=\bm{N}\bm{Q}_{p}\,(\bm{N}+\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}-\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x})\\ &=\bm{N}\,(\bm{E}-\bm{Q}_{p}\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x})\\ &=\bm{N}\,(\bm{E}-\bm{S}(\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\bm{S})^{-1}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x})=\bm{N} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} (\bm{Q}_{p}\bm{N})^{T}\bm{P}_{x} &=(\bm{E}-\bm{S}(\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\bm{S})^{-1}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x})^{T}\bm{P}_{x}\\ &=\bm{P}_{x}\,(\bm{E}-\bm{S}(\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\bm{S})^{-1}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x})\\ &=\bm{P}_{x}\bm{Q}_{p}\bm{N} \end{aligned}\] 故有 \[\bm{Q}_{p}=(\bm{N}+\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x})^{-1}\in\bm{N}_{P_{x}}^{m}\] 由此可知，按附加条件法的解 (2-2-11) 与广义逆解 (2-2-48) 相同。也说明了采用模型 (2-2-42) 和模型 (2-2-43) 进行秩亏自由网平差结果是相同的，再次说明这两模型等价。

加权最小范数逆不唯一，有多种选择，但必须满足 (2-2-49) 中两个条件。

当 \(\bm{P}_{x}\) 正定时，在平差中常用的一种选择是 \[\bm{N}_{P_{x}}^{m}=\bm{P}_{x}^{-1}\bm{N}^{T}(\bm{N}\bm{P}_{x}^{-1}\bm{N}^{T})^{-} \tag{2-2-51}\] 当 \(\bm{P}_{x}\) 半正定时，则 \(\bm{N}_{P_{x}}^{m}\) 的一种选择是 \[\bm{N}_{P_{x}}^{m}=(\bm{P}_{x}+\bm{N}^{T}\bm{N})^{-}\bm{N}^{T} (\bm{N}(\bm{P}_{x}+\bm{N}^{T}\bm{N})^{-}\bm{N}^{T})^{-} \tag{2-2-52}\] 对于模型 (2-2-43)，可直接求误差方程的加权最小二乘最小范数解，即 \[\hat{\bm{x}}=\bm{B}_{PP_{x}}^{+}\bm{l} \tag{2-2-53}\] 式中 \(\bm{B}_{PP_{x}}^{+}\) 为系数阵 \(\bm{B}\) 的加权最小二乘最小范数逆，简称加权伪逆。

根据加权伪逆的定义：如果 \(\|\bm{V}\|_{P}=(\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V})^{1/2}\)，\(\|\bm{X}\|=(\bm{X}^{T}\bm{P}_{x}\bm{X})^{1/2}\)，则同时满足如下 4 个条件 \[\begin{gathered} \bm{B}\bm{G}\bm{B}=\bm{B},\quad (\bm{B}\bm{G})^{T}\bm{P}=\bm{P}\bm{B}\bm{G}\\ \bm{G}\bm{B}\bm{G}=\bm{B},\quad (\bm{G}\bm{B})^{T}\bm{P}_{x}=\bm{P}_{x}\bm{G}\bm{B} \end{gathered}\] 的 \(\bm{G}\) 称为 \(\bm{B}\) 的加权伪逆，记为 \(\bm{B}_{PP_{x}}^{+}\)，加权伪逆唯一。

平差中常用的选择是 \[\bm{B}_{PP_{x}}^{+}=(\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B})_{P_{x}}^{m}\bm{B}^{T}\bm{P} \tag{2-2-54}\] 对于普通秩亏自由网平差，拟稳平差只要给出相应的基准权 \(\bm{P}_{x}\) 就可用上述的广义逆直接得出参数的广义逆解。

附加系统参数的自由网平差

在一个平差问题中，除了未知的坐标参数外，往往还要列入一些附加系统参数作为未知参数参与平差。例如水准网平差中的尺度因子，测边网中的尺度比，动态平差中速率等。

附加系统参数自由网平差的误差方程是 \[\underset{n\times 1}{\bm{V}}=\underset{n\times r}{\bm{B}_{\mu}}\,\underset{r\times 1}{\delta\hat{\bm{\mu}}} +\underset{n\times u}{\bm{B}_{x}}\,\underset{u\times 1}{\hat{\bm{x}}}-\underset{n\times 1}{\bm{l}} \tag{2-3-1}\] 式中 \(\delta\hat{\bm{\mu}}\) 是附加系统参数；\(\hat{\bm{x}}\) 是坐标参数。在 \(\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}=\min\) 的要求下组成法方程 \[\begin{bmatrix} \bm{B}_{\mu}^{T}\bm{P}\bm{B}_{\mu} & \bm{B}_{\mu}^{T}\bm{P}\bm{B}_{x}\\ \bm{B}_{x}^{T}\bm{P}\bm{B}_{\mu} & \bm{B}_{x}^{T}\bm{P}\bm{B}_{x} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta\hat{\bm{\mu}}\\ \hat{\bm{x}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bm{B}_{\mu}^{T}\bm{P}\bm{l}\\ \bm{B}_{x}^{T}\bm{P}\bm{l} \end{bmatrix} \tag{2-3-2}\] 令 \[\begin{gathered} \bm{N}_{11}=\bm{B}_{\mu}^{T}\bm{P}\bm{B}_{\mu},\qquad \bm{N}_{12}=\bm{B}_{\mu}^{T}\bm{P}\bm{B}_{x}=\bm{N}_{21}^{T}\\ \bm{N}_{22}=\bm{B}_{x}^{T}\bm{P}\bm{B}_{x}\\ \bm{W}_{1}=\bm{B}_{\mu}^{T}\bm{P}\bm{l}\qquad \bm{W}_{2}=\bm{B}_{x}^{T}\bm{P}\bm{l} \end{gathered}\] 和 \[\bm{N}=\begin{bmatrix}\bm{N}_{11}&\bm{N}_{12}\\ \bm{N}_{21}&\bm{N}_{22}\end{bmatrix},\quad \bm{W}=\begin{bmatrix}\bm{W}_{1}\\ \bm{W}_{2}\end{bmatrix},\quad \hat{\bm{Y}}=\begin{bmatrix}\delta\hat{\bm{\mu}}\\ \hat{\bm{x}}\end{bmatrix}\] 则上式可简写成 \[\left.\begin{aligned} \bm{N}_{11}\delta\hat{\bm{\mu}}+\bm{N}_{12}\hat{\bm{x}}&=\bm{W}_{1}\\ \bm{N}_{21}\delta\hat{\bm{\mu}}+\bm{N}_{22}\hat{\bm{x}}&=\bm{W}_{2} \end{aligned}\right\} \tag{2-3-3}\] 或 \[\bm{N}\hat{\bm{Y}}=\bm{W} \tag{2-3-4}\]

如果不加区别地将附加系统参数与坐标参数同样看待，那么就可对参数 \(\hat{\bm{Y}}\) 给定各类自由网平差的基准条件 \[\bm{S}^{T}\bm{P}_{y}\hat{\bm{Y}}=0 \tag{2-3-5}\] 或采用最小范数准则 \[\hat{\bm{Y}}^{T}\bm{P}_{y}\hat{\bm{Y}} =\delta\hat{\bm{\mu}}^{T}\bm{P}_{\mu}\delta\hat{\bm{\mu}}+\hat{\bm{x}}^{T}\bm{P}_{x}\hat{\bm{x}}=\min \tag{2-3-6}\] 按上节介绍方法进行自由网平差，对 \(\delta\bm{\mu}\) 和 \(\bm{x}\) 作出估计。

但是，在不少情况下，附加系统参数要取固定基准，自由网基准限定于坐标参数，此时 (2-3-1) 式中的 \(\bm{B}_{\mu}\) 列满秩，而 \(\operatorname{rk}(\bm{B}_{x})=t<u\)。

为便于对坐标参数设定自由网基准，先对法方程 (2-3-3) 进行变换，以 \(-\bm{N}_{21}\bm{N}_{11}^{-1}\) 左乘 (2-3-3) 中第一式并与其第二式相加，可得消去 \(\delta\hat{\bm{\mu}}\) 的约化法方程 \[(\bm{N}_{22}-\bm{N}_{21}\bm{N}_{11}^{-1}\bm{N}_{12})\,\hat{\bm{x}} =(\bm{W}_{2}-\bm{N}_{21}\bm{N}_{11}^{-1}\bm{W}_{1})\] 令 \[\overline{\bm{N}}_{22}=\bm{N}_{22}-\bm{N}_{21}\bm{N}_{11}^{-1}\bm{N}_{12},\qquad \overline{\bm{W}}_{2}=\bm{W}_{2}-\bm{N}_{21}\bm{N}_{11}^{-1}\bm{W}_{1}\] 则上式为 \[\overline{\bm{N}}_{22}\hat{\bm{x}}=\overline{\bm{W}}_{2} \tag{2-3-7}\] 式中 \(\operatorname{rk}(\overline{\bm{N}}_{22})=t<u\)，就参数 \(\hat{\bm{x}}\) 而言，此式与 (2-3-3) 式等价。

对 \(\hat{\bm{x}}\) 建立基准，求其唯一解，可按 2-2 节方法计算，得一般公式为 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{x}}_{p}&=(\overline{\bm{N}}_{22}+\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x})^{-1}\overline{\bm{W}}_{2} =\overline{\bm{Q}}_{P}\overline{\bm{W}}_{2}\\ \bm{Q}_{\hat{x}_{p}\hat{x}_{p}}&=\overline{\bm{Q}}_{P} -\overline{\bm{Q}}_{P}\bm{P}_{x}\bm{S}\bm{S}^{T}\bm{P}_{x}\overline{\bm{Q}}_{P} \end{aligned}\right\} \tag{2-3-8}\] 对于重心基准的自由网平差公式： \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{x}}_{r}&=\overline{\bm{Q}}_{r}\overline{\bm{W}}_{2} =(\overline{\bm{N}}_{22}+\bm{S}\bm{S}^{T})^{-1}\overline{\bm{W}}_{2}\\ \bm{Q}_{\hat{x}_{r}\hat{x}_{r}}&=\overline{\bm{Q}}_{r}-\overline{\bm{Q}}_{r}\bm{S}\bm{S}^{T}\overline{\bm{Q}}_{r} \end{aligned}\right\} \tag{2-3-9}\] 拟稳平差公式 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{x}}_{s}&=\overline{\bm{Q}}_{s}\overline{\bm{W}}_{2} =(\overline{\bm{N}}_{22}+\bm{S}_{2}\bm{S}_{2}^{T})^{-1}\overline{\bm{W}}_{2}\\ \bm{Q}_{\hat{x}_{s}\hat{x}_{s}}&=\overline{\bm{Q}}_{s}-\overline{\bm{Q}}_{s}\bm{S}_{2}\bm{S}_{2}^{T}\overline{\bm{Q}}_{s} \end{aligned}\right\} \tag{2-3-10}\] 求出给定基准的 \(\hat{\bm{x}}\) 以后，由 (2-3-3) 中第一式计算参数 \(\delta\hat{\bm{\mu}}\)，即有 \[\delta\hat{\bm{\mu}}=\bm{N}_{11}^{-1}(\bm{W}_{1}-\bm{N}_{12}\hat{\bm{x}}) \tag{2-3-11}\] 下面给出精度估计公式。

令各类秩亏自由网平差的解统一写成下式： \[\hat{\bm{x}}=\overline{\bm{Q}}\,\overline{\bm{W}}_{2} \tag{2-3-12}\] 展开上式，则有 \[\hat{\bm{x}}=\overline{\bm{Q}}\,(\bm{B}_{x}^{T}-\bm{N}_{21}\bm{N}_{11}^{-1}\bm{B}_{\mu}^{T})\,\bm{P}\bm{l} =\bm{\beta}^{T}\bm{P}\bm{l} \tag{2-3-13}\] 其中令 \[\bm{\beta}^{T}=\overline{\bm{Q}}\,(\bm{B}_{x}^{T}-\bm{N}_{21}\bm{N}_{11}^{-1}\bm{B}_{\mu}^{T}) \tag{2-3-14}\] 将 (2-3-13) 式代入 (2-3-11) 式可得 \[\delta\hat{\bm{\mu}}=\bm{N}_{11}^{-1}(\bm{B}_{\mu}^{T}-\bm{N}_{12}\bm{\beta}^{T})\,\bm{P}\bm{l} =\bm{\alpha}^{T}\bm{P}\bm{l} \tag{2-3-15}\] 式中令 \[\bm{\alpha}^{T}=\bm{N}_{11}^{-1}(\bm{B}_{\mu}^{T}-\bm{N}_{12}\bm{\beta}^{T}) \tag{2-3-16}\] 由 (2-3-15) 式和 (2-3-13) 式可得 \[\bm{Q}_{\hat{\mu}\hat{\mu}}=\bm{\alpha}^{T}\bm{P}\bm{\alpha} \tag{2-3-17}\] \[\bm{Q}_{\hat{\mu}\hat{x}}=\bm{\alpha}^{T}\bm{P}\bm{\beta} \tag{2-3-18}\] 下面举一个附加尺度比参数的秩亏测边网平差的例子。

由图 2-2，即可得附加尺度比参数后，边长观测值的误差方程为

\[v_{ij}=-s_{ij}^{0}\delta\hat{\mu}_{k} +\alpha_{ij}^{\prime}\hat{x}_{i}+b_{ij}^{\prime}\hat{y}_{i} -\alpha_{ij}^{\prime}\hat{x}_{j}-b_{ij}^{\prime}\hat{y}_{j}-l_{ij}\] 式中 \[\begin{gathered} \delta\hat{\mu}_{k}=\hat{\mu}_{k}-\mu_{k}^{0}=\hat{\mu}_{k}-1\\ \alpha_{ij}^{\prime}=-\frac{\Delta x_{ij}^{0}}{s_{ij}^{0}}=-\cos T_{ij}^{0}\\ b_{ij}^{\prime}=-\frac{\Delta y_{ij}^{0}}{s_{ij}^{0}}=-\sin T_{ij}^{0}\\ -l_{ij}=s_{ij}^{0}-s_{ij} =\left\{(x_{j}^{0}-x_{i}^{0})^{2}+(y_{j}^{0}-y_{i}^{0})^{2}\right\}^{1/2}-s_{ij} \end{gathered}\] 具体计算时，坐标未知数 \(\hat{\bm{x}}\) 一般以 cm 为单位，而 \(\delta\hat{\bm{\mu}}\) 一般以 \(10^{-6}\) 为单位。

现直接写出同时满足 \(\bm{B}\bm{G}=0\) 及 \(\bm{G}^{T}\bm{G}=\bm{E}\) 的附加阵 \(\bm{G}^{T}\)： \[\bm{G}^{T}=\begin{bmatrix} 0&\cdots&0&1/\sqrt{m}&0&1/\sqrt{m}&0&\cdots&1/\sqrt{m}&0\\ 0&\cdots&0&0&1/\sqrt{m}&0&1/\sqrt{m}&\cdots&0&1/\sqrt{m}\\ 0&\cdots&0&-Y_{1}^{0}/a&X_{1}^{0}/a&-Y_{2}^{0}/a&X_{2}^{0}/a&\cdots&-Y_{m}^{0}/a&X_{m}^{0}/a\\ \dfrac{1}{a^{\prime}}&\cdots&\dfrac{1}{a^{\prime}}&X_{1}^{0}/a^{\prime}&Y_{1}^{0}/a^{\prime}&X_{2}^{0}/a^{\prime}&Y_{2}^{0}/a^{\prime}&\cdots&X_{m}^{0}/a^{\prime}&Y_{m}^{0}/a^{\prime} \end{bmatrix} \tag{2-3-19}\] 式中 \(X_{i}^{0}\)、\(Y_{i}^{0}\) 为该网的重心坐标（\(i=1,2,\cdots,m\)） \[\begin{gathered} a=\left\{\sum_{i=1}^{m}(X_{i}^{02}+Y_{i}^{02})\right\}^{1/2}\\ a^{\prime}=(r+a^{2})^{1/2} \end{gathered}\] 其中 \(m\) 为测边网中的待定点个数，\(r\) 为尺度比参数的个数。

有了 \(\bm{G}\) 阵，就可按附加条件法进行解算。

特例：当 (2-3-1) 式中的系数阵 \(\bm{B}_{\mu}\) 和 \(\bm{B}_{x}\) 均为列满秩时，即为附加系统参数的间接平差模型。

此时，\(\operatorname{rk}(\bm{B}_{\mu})=r\)，\(\operatorname{rk}(\bm{B}_{x})=u\)，法方程仍是 (2-3-3) 式，按分块求逆公式： \[\begin{bmatrix} \bm{N}_{11}&\bm{N}_{12}\\ \bm{N}_{21}&\bm{N}_{22} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \bm{N}_{11}^{-1}+\bm{N}_{11}^{-1}\bm{N}_{12}\overline{\bm{N}}_{22}^{-1}\bm{N}_{21}\bm{N}_{11}^{-1} & -\bm{N}_{11}^{-1}\bm{N}_{12}\overline{\bm{N}}_{22}^{-1}\\ -\overline{\bm{N}}_{22}^{-1}\bm{N}_{21}\bm{N}_{11}^{-1} & \overline{\bm{N}}_{22}^{-1} \end{bmatrix} \tag{2-3-20}\] 可得 \[\hat{\bm{x}}=\overline{\bm{N}}_{22}^{-1}(\bm{W}_{2}-\bm{N}_{21}\bm{N}_{11}^{-1}\bm{W}_{1}) =\overline{\bm{N}}_{22}^{-1}\overline{\bm{W}}_{2} \tag{2-3-21}\] \[\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}}=\overline{\bm{N}}_{22}^{-1} \tag{2-3-22}\] 由法方程 (2-3-3) 中第一式可得 \[\delta\hat{\bm{\mu}}=\bm{N}_{11}^{-1}\bm{W}_{1}-\bm{N}_{11}^{-1}\bm{N}_{12}\hat{\bm{x}} \tag{2-3-23}\] 协因数阵由 (2-3-20) 式直接可得 \[\bm{Q}_{\hat{\mu}\hat{\mu}} =\bm{N}_{11}^{-1}+\bm{N}_{11}^{-1}\bm{N}_{12}\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}}\bm{N}_{21}\bm{N}_{11}^{-1} \tag{2-3-24}\]

例 2-3-1

图 2-3 所示的是某地区的一个含 10 个待定点、19 条观测边的形变监测网，有 3 期观测成果，其边长观测值列于表 2-4，点的坐标近似值列于表 2-5。现按以下三种方案进行计算：

(1) 不设尺度比参数的普通秩亏测边网平差；

(2) 附加一个尺度比参数的普通秩亏测边网平差，即在 \(\bm{x}^{T}\bm{x}+\delta\bm{\mu}^{T}\delta\bm{\mu}=\min\) 的约束条件下的平差；

(3) 附加一个尺度比参数的测边网拟稳平差，即只在 \(\bm{x}^{T}\bm{x}=\min\) 的约束条件下的平差；

上述三种方案下的坐标改正数 \(\hat{\bm{x}}\) 的值列于表 2-6。

上述三种方案下的 \(\delta\hat{\bm{\mu}}\)、\(\hat{\bm{x}}^{T}\hat{\bm{x}}\) 和 \(\operatorname{tr}(\bm{Q}_{\hat{x}})\) 的值列于表 2-7。

从表 2-6 和表 2-7 列出的平差结果可以看出：

(1) 该测边网的第 \(\mathrm{I}\) 期与第 \(\mathrm{III}\) 期、第 \(\mathrm{II}\) 期与第 \(\mathrm{III}\) 期之间存在着显著的尺度差异，其中第 \(\mathrm{III}\) 期的尺度比改正数竟达 \(-3.2864\times 10^{-6}\)；

(2) 附加尺度比参数的两种平差方案 2、3，所得到的尺度比改正数 \(\delta\hat{\bm{\mu}}\) 的值差异很小；

(3) 附加尺度比参数的两种平差方案 2、3，所得坐标改正数的值，与不设尺度比参数的平差方案 1 所得 \(\hat{x}_{i}\) 和 \(\hat{y}_{i}\)，有明显差异，在 10 号点上，最大差异竟达 3cm，但方案 2、3 的结果各期均较为接近。

(4) 附加尺度比参数的两种平差方案 2、3 所得坐标未知参数的范数 \(\hat{\bm{x}}^{T}\hat{\bm{x}}\) 和协因数阵的迹 \(\operatorname{tr}(\bm{Q}_{\hat{x}})\) 均小于不设尺度比参数的平差方案 1 的结果。

例 2-3-2

有水准网如图 2-4 所示，进行了两期复测，其观测数据列于表 2-8，试按附加条件法进行动态水准网平差。

(1) 设置参数，设中心时刻为 \(T^{0}=1972\) 年，中心时刻各待定点高程未知参数的近似值为 \[\bm{X}^{0}=\begin{bmatrix}32.623&16.672&7.735&13.497&3.034&4.615&2.050\end{bmatrix}^{T}(\mathrm{m})\] 各待定点高程速率未知参数的近似值为 \(\bm{\lambda}^{0}=0\)。

(2) 列出两期观测的误差方程 \[\begin{gathered} \bm{V}_{\mathrm{I}}=\bm{B}_{x}^{\prime}\hat{\bm{x}}+\bm{B}_{\lambda}^{\prime}\hat{\bm{\lambda}}-\bm{l}_{\mathrm{I}}\\ \bm{V}_{\mathrm{II}}=\bm{B}_{x}^{\prime\prime}\hat{\bm{x}}+\bm{B}_{\lambda}^{\prime\prime}\hat{\bm{\lambda}}-\bm{l}_{\mathrm{II}} \end{gathered}\] 现以第 \(\mathrm{I}\) 期观测高差 \(h_{4}\) 为例，说明误差方程列立方法。 \[\begin{aligned} h_{4}\,(1971)+V_{4}&=-X_{1}\,(1971)+X_{4}\,(1971)\\ &=-(X_{1}^{0}+\hat{x}_{1})-(1971-1972)\,\lambda_{1}+(X_{4}^{0}+\hat{x}_{4})+(1971-1972)\,\lambda_{2} \end{aligned}\] 则其误差方程为 \[U_{4}=-\hat{x}_{1}+\hat{x}_{4}+\lambda_{1}-\lambda_{4}-l_{4}\] \[-l_{4}=-X_{1}^{0}+X_{4}^{0}-h_{4}=-10\] 两期误差方程的系数阵和常数项分别为 \[\bm{B}_{x}^{\prime}=\bm{B}_{x}^{\prime\prime}= \begin{pmatrix} -1&\cdot&1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ -1&1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ \cdot&-1&1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ -1&\cdot&\cdot&1&\cdot&\cdot&\cdot\\ \cdot&-1&\cdot&\cdot&1&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&-1&\cdot&1&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&-1&1&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&1&\cdot&-1&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&1&\cdot&-1\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&-1&1 \end{pmatrix}\] \[\bm{B}_{\lambda}^{\prime}= \begin{pmatrix} 3&\cdot&-3&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ 3&-3&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ \cdot&2&-2&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ 1&\cdot&\cdot&-1&\cdot&\cdot&\cdot\\ \cdot&2&\cdot&\cdot&-2&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&2&\cdot&-2&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&1&-1&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&-3&\cdot&3&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&-1&\cdot&1\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&2&-2\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&3&-3 \end{pmatrix}\] \[\bm{B}_{\lambda}^{\prime\prime}= \begin{pmatrix} -1&\cdot&1&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ -2&2&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ \cdot&-3&3&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ -3&\cdot&\cdot&3&\cdot&\cdot&\cdot\\ \cdot&-1&\cdot&\cdot&1&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&-3&\cdot&3&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&-2&2&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&3&\cdot&-3&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&2&\cdot&-2\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&-1&1\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&-2&2 \end{pmatrix}\] \[\begin{aligned} -\bm{l}_{\mathrm{I}}&=\begin{bmatrix}-10&-1&0&-10&-12&-6&10&4&8&12&0\end{bmatrix}^{T}(\mathrm{mm})\\ -\bm{l}_{\mathrm{II}}&=\begin{bmatrix}0&13&-6&6&-8&-4&14&-20&-12&5&-5\end{bmatrix}^{T}(\mathrm{mm}) \end{aligned}\] 按 \(P_{i}=10/S_{i}\) 定权得 \[\bm{P}_{\mathrm{I}}=\bm{P}_{\mathrm{II}}=\operatorname{diag}\begin{bmatrix}0.5&1&1&0.5&0.5&1&0.5&1&0.5&1&0.5\end{bmatrix}\]

(3) 基准条件 \[\hat{x}_{1}+\hat{x}_{2}+\cdots+\hat{x}_{7}=0\] \[\hat{\lambda}_{1}+\hat{\lambda}_{2}+\cdots+\hat{\lambda}_{7}=0\] 令 \(\hat{\bm{y}}=\begin{bmatrix}\hat{x}_{1}&\hat{x}_{2}\cdots\hat{x}_{7}&\hat{\lambda}_{1}&\hat{\lambda}_{2}\cdots\hat{\lambda}_{7}\end{bmatrix}^{T}\) 则有 \[\bm{S}^{T}\bm{y}=0\] \[\bm{S}^{T}=\begin{bmatrix} 1&1&\cdots&1&&&&&&\\ &&&&1&1&\cdots&1 \end{bmatrix}\] 对 \(\bm{S}\) 标准化，有 \[\bm{G}^{T}=\frac{1}{\sqrt{7}}\begin{bmatrix} 1&1&\cdots&1&&&&&&\\ &&&&1&1&\cdots&1 \end{bmatrix}\] 此例的基准条件为 (2-3-5) 式，对参数 \(\bm{y}\) 是普通秩亏自由网平差，而例 [2-3-1] 则是对参数 \(\bm{y}\) 进行拟稳平差，仅对参数 \(\hat{\bm{x}}\) 建立基准条件。

(4) 组成法方程和解算

按 (2-2-24) 组成法方程 \[(\bm{N}+\bm{G}\bm{G}^{T})\,\hat{\bm{y}}=\bm{W}\] 式中 \[\bm{N}=\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B}=\begin{bmatrix} \bm{B}_{x}^{\prime T}\bm{P}_{\mathrm{I}}\bm{B}_{x}^{\prime}+\bm{B}_{x}^{\prime\prime T}\bm{P}_{\mathrm{II}}\bm{B}_{x}^{\prime\prime} & \bm{B}_{x}^{\prime T}\bm{P}_{\mathrm{I}}\bm{B}_{\lambda}^{\prime}+\bm{B}_{x}^{\prime\prime T}\bm{P}_{\mathrm{II}}\bm{B}_{\lambda}^{\prime\prime}\\ \text{对称} & \bm{B}_{\lambda}^{\prime T}\bm{P}_{\mathrm{I}}\bm{B}_{\lambda}^{\prime}+\bm{B}_{\lambda}^{\prime\prime T}\bm{P}_{\mathrm{II}}\bm{B}_{\lambda}^{\prime\prime} \end{bmatrix}\] \[-\bm{W}=\begin{bmatrix}-5&28&-2&-30&-9&1.5&16.5&-5.8&39&-1&-67&-1&96&-8\end{bmatrix}^{T}\] 解算法方程得高程未知数为 \[\hat{\bm{x}}=\begin{bmatrix}-0.609&-7.754&-3.497&10.023&0.199&2.713&-1.075\end{bmatrix}^{T}(\mathrm{mm})\] 高程速率未知数为 \[\hat{\bm{\lambda}}=\begin{bmatrix}4.346&1.134&1.488&-0.178&0.932&-4.447&-3.275\end{bmatrix}^{T}(\mathrm{mm})\]

(5) 计算中心时刻（1972 年）的待定点高程 \[\hat{\bm{X}}=\bm{X}^{0}+\hat{\bm{x}} =\begin{bmatrix}32.6224&16.6642&7.7315&13.5070\\ 3.0342&4.6177&2.0489\end{bmatrix}^{T}(\mathrm{m})\]

(6) 精度评定

单位权中误差的计算： \[\hat{\sigma}_{0}=\sqrt{\frac{\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}}{n-2u+2}} =\sqrt{\frac{196.1947}{10}}=4.43\,\mathrm{mm/10km}\] 每公里高差观测中误差为 \[\hat{\sigma}_{\mathrm{km}}=\hat{\sigma}_{0}/\sqrt{10}=1.40\,\mathrm{mm}\] 计算各待定点中心时刻高程 \(\hat{X}_{i}\) 的中误差 \(\sigma_{\hat{x}_{i}}\) 以及各待定点高程速率 \(\hat{\lambda}_{i}\) 的中误差 \(\sigma_{\hat{\lambda}_{i}}\)，计算公式是： \[\begin{gathered} \sigma_{\hat{x}_{i}}=\hat{\sigma}_{0}\sqrt{\bm{Q}_{\hat{x}_{i}}}\\ \sigma_{\hat{\lambda}_{i}}=\hat{\sigma}_{0}\sqrt{\bm{Q}_{\hat{\lambda}_{i}}} \end{gathered}\] 权倒数 \(\bm{Q}_{\hat{x}_{i}}\)、\(\bm{Q}_{\hat{\lambda}_{i}}\) 可从协因数阵 \[\bm{Q}_{\hat{Y}}=\bm{Q}_{r}-\bm{G}\bm{G}^{T}\] 的主对角线元素获得。现将 \(\bm{Q}_{\hat{x}_{i}}\)、\(\sigma_{\hat{x}_{i}}\)、\(\bm{Q}_{\hat{\lambda}_{i}}\)、\(\sigma_{\hat{\lambda}_{i}}\) 的计算结果列于表 2-9。

极大验后滤波与推估

原理和计算公式

滤波的本来含义是从接收的电磁波信号中，排除各种噪声的干扰。对于一般的数据处理问题，滤波就是通过对一系列带有误差的实际观测数据的处理，得出所需要的参数的最佳估值的方法。而在测量平差中，我们将滤波看做是一种利用含有误差（噪声）的观测值求定参数的最佳估值的方法。这种方法与一般最小二乘平差法的区别是：最小二乘平差法是将全部待估参数都当作非随机量，或不考虑参数的随机性质，按照经典和相关最小二乘原理求定其最佳估值；滤波则是把全部参数都作为正态随机量，按照极大验后估计、最小方差估计或者广义最小二乘原理来求定参数的最佳估值。当已知参数的先验统计性质时，由于滤波考虑了这种性质，因此，所得到的估值比最小二乘平差估值具有更高的精度。

需要求定最佳估值的参数一般有两种，第一种是非随机的和先验统计性质未知的，或者是先验统计性质虽然已知，但在求估值时不予考虑的参数；第二种则是已知其先验统计性质，并且在求定其估值时考虑这种性质的参数。为了便于区别，一般将第一种参数仍称为参数，或称为倾向参数，它也就是最小二乘平差中的未知数，而第二种参数称为信号，同时又将信号分为两类，一类是与观测向量建立了函数模型的信号，不妨称之为滤波信号；另一类是没有与观测向量建立函数模型的信号，叫做推估信号。本章用 \(\bm{X}\) 表示滤波信号，而以 \(\bm{X}^{\prime}\) 表示推估信号。

滤波的函数模型通常是用如下观测方程描述： \[\bm{L}=\bm{B}\bm{X}+\bm{\Delta} \tag{2-4-1}\] 式中 \(\bm{B}\) 为已知系数矩阵，\(\bm{L}\) 和 \(\bm{\Delta}\) 仍表示观测向量和观测误差（或噪声）向量。(2-4-1) 式的形式与最小二乘间接平差的函数模型基本相同，所不同的是，式中的信号 \(\bm{X}\) 是随机量。

通过滤波可以求得 \(\bm{X}\) 和 \(\bm{X}^{\prime}\) 的最佳估值 \(\hat{\bm{X}}\) 和 \(\hat{\bm{X}}^{\prime}\)，通常又将求定滤波信号 \(\bm{X}\) 的最佳估值的过程称为滤波，而将求定推估信号 \(\bm{X}^{\prime}\) 的最佳估值的过程称为推估。推估有时也分为两种，一种称为内插或平滑，另一种称为外推或预报。对于静态系统来说，若 \(\bm{X}^{\prime}\) 在 \(\bm{X}\) 的范围以内，就是内插或平滑；若 \(\bm{X}^{\prime}\) 在 \(\bm{X}\) 的范围之外，就是外推或预报。如果不考虑观测噪声或没有多余观测，观测方程就变为 \[\bm{L}=\bm{B}\bm{X} \tag{2-4-2}\] 则滤波就成为纯粹的内插或外推问题。

设 \(\underset{n\times 1}{\bm{L}}\) 为正态随机观测向量，\(\underset{t_{1}\times 1}{\bm{X}}\) 为正态随机参数向量（即信号），它们具有以下先验统计性质： \[\begin{gathered} \text{$\bm{X}$ 的先验期望}\quad E(\bm{X})=\bm{\mu}_{X},\\ \text{$\bm{X}$ 的先验方差}\quad \operatorname{var}(\bm{X})=\bm{D}_{X},\\ \text{$\bm{L}$ 的数学期望}\quad E(\bm{L})=\bm{\mu}_{L},\\ \text{$\bm{L}$ 的方差}\quad \operatorname{var}(\bm{L})=\bm{D}_{L},\\ \text{$\bm{X}$ 关于 $\bm{L}$ 的协方差}\quad \operatorname{cov}(\bm{X},\bm{L})=\bm{D}_{XL}. \end{gathered}\] 由 1-5 节的讨论可知，按照极大验后估计求得的信号 \(\bm{X}\) 的估值为 \[\hat{\bm{X}}=E(\bm{X}/\bm{l})=\bm{\mu}_{X}+\bm{D}_{XL}\bm{D}_{L}^{-1}(\bm{L}-\bm{\mu}_{L}) \tag{2-4-3}\] 估值 \(\hat{\bm{X}}\) 的误差方差为 \[\bm{D}_{\Delta\hat{X}}=D(\bm{X}/\bm{l})=\bm{D}_{X}-\bm{D}_{XL}\bm{D}_{L}^{-1}\bm{D}_{LX} \tag{2-4-4}\] 这是极大验后估计的基本公式。

对于正态分布来说，由极大验后估计、最小方差估计及线性最小方差估计所得到的估值公式相同，所以估值的误差方差计算公式也相同。但不论何种分布，其线性最小方差估计的估值和误差方差公式都是 (2-4-3) 和 (2-4-4) 式。

本节从基本公式出发，讨论静态线性模型的滤波和推估，称之为极大验后滤波和推估。当然，所得到的估计公式，也可以作为非正态分布下的线性最小方差估计公式。

静态线性模型的函数模型就是 (2-4-1) 式，即 \[\underset{n\times 1}{\bm{L}}=\underset{n\times t_{1}}{\bm{B}}\,\underset{t_{1}\times 1}{\bm{X}}+\underset{n\times 1}{\bm{\Delta}} \tag{2-4-5}\] 式中 \(\bm{\Delta}\) 是随机观测误差（噪声）向量，\(\bm{L}\)，\(\bm{\Delta}\)，\(\bm{X}\)，\(\bm{X}^{\prime}\) 都是正态随机向量，其随机模型是： \[\left.\begin{aligned} &\text{$\bm{X}$ 和 $\bm{X}^{\prime}$ 的先验期望：}\ E(\bm{X})=\bm{\mu}_{X},\ E(\bm{X}^{\prime})=\bm{\mu}_{X^{\prime}}\\ &\text{$\bm{X}$ 和 $\bm{X}^{\prime}$ 的先验方差和协方差：}\\ &\operatorname{var}(\bm{X})=\bm{D}_{X},\ \operatorname{var}(\bm{X}^{\prime})=\bm{D}_{X^{\prime}},\ \operatorname{cov}(\bm{X},\bm{X}^{\prime})=\bm{D}_{XX^{\prime}}\\ &\text{$\bm{\Delta}$ 的数学期望和方差：}\\ &E(\bm{\Delta})=\bm{0},\ \operatorname{var}(\bm{\Delta})=\bm{D}_{\Delta}\\ &\text{$\bm{\Delta}$ 关于 $\bm{X}$ 和 $\bm{X}^{\prime}$ 的协方差：}\\ &\operatorname{cov}(\bm{\Delta},\bm{X})=\bm{D}_{\Delta X},\ \operatorname{cov}(\bm{\Delta},\bm{X}^{\prime})=\bm{D}_{\Delta X^{\prime}} \end{aligned}\right\} \tag{2-4-6}\] 其中当 \(\bm{D}_{\Delta X}=\bm{0}\)，\(\bm{D}_{\Delta X^{\prime}}=\bm{0}\) 时，表示 \(\bm{\Delta}\) 与 \(\bm{X}\)，\(\bm{\Delta}\) 与 \(\bm{X}^{\prime}\) 是相互独立的。

根据基本公式，为了由函数模型 (2-4-5) 和随机模型 (2-4-6) 式求 \(\bm{X}\) 和 \(\bm{X}^{\prime}\) 的估值及其误差方差，应先求得观测向量 \(\bm{L}\) 的方差、数学期望及协方差 \(\bm{D}_{XL}\) 和 \(\bm{D}_{X^{\prime}L}\)。现将函数模型 (2-4-5) 式写为 \[\bm{L}=\begin{bmatrix}\bm{B}&\bm{E}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\bm{X}\\ \bm{\Delta}\end{bmatrix}\] 则由协方差传播律可得 \[\operatorname{var}(\bm{L})=\bm{D}_{L} =\begin{bmatrix}\bm{B}&\bm{E}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{D}_{X}&\bm{D}_{X\Delta}\\ \bm{D}_{\Delta X}&\bm{D}_{\Delta}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{B}^{T}\\ \bm{E}\end{bmatrix}\] \[=\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T} \tag{2-4-7}\] \[\begin{aligned} \operatorname{cov}(\bm{X},\bm{L})=\bm{D}_{XL} &=\begin{bmatrix}\bm{E}&\bm{0}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{D}_{X}&\bm{D}_{X\Delta}\\ \bm{D}_{\Delta X}&\bm{D}_{\Delta}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{B}^{T}\\ \bm{E}\end{bmatrix}\\ &=\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X\Delta} \end{aligned} \tag{2-4-8}\] 且有 \[E(\bm{L})=\bm{\mu}_{L}=\bm{B}\bm{\mu}_{X} \tag{2-4-9}\] 将以上三式代入基本公式，可得 \(\bm{X}\) 的估值为 \[\hat{\bm{X}}=\bm{\mu}_{X} +(\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X\Delta})\, (\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1} \cdot(\bm{L}-\bm{B}\bm{\mu}_{X}) \tag{2-4-10}\] 它的误差方差为 \[\bm{D}_{\Delta\hat{X}}=\bm{D}_{X} -(\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X\Delta})\, (\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1} \cdot(\bm{D}_{\Delta X}+\bm{B}\bm{D}_{X}) \tag{2-4-11}\]

如果将 (2-4-5) 式写为 \[\bm{L}=\begin{bmatrix}\bm{B}&\bm{0}&\bm{E}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{X}\\ \bm{X}^{\prime}\\ \bm{\Delta}\end{bmatrix}\] 则由协方差传播律可得 \[\operatorname{cov}(\bm{X}^{\prime},\bm{L})=\bm{D}_{X^{\prime}L} =\begin{bmatrix}\bm{0}&\bm{E}&\bm{0}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bm{D}_{X}&\bm{D}_{XX^{\prime}}&\bm{D}_{X\Delta}\\ \bm{D}_{X^{\prime}X}&\bm{D}_{X^{\prime}}&\bm{D}_{X^{\prime}\Delta}\\ \bm{D}_{\Delta X}&\bm{D}_{\Delta X^{\prime}}&\bm{D}_{\Delta} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{B}^{T}\\ \bm{0}\\ \bm{E}\end{bmatrix}\] \[=\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X^{\prime}\Delta} \tag{2-4-12}\] 因此，可得推估信号 \(\bm{X}^{\prime}\) 的估值及其误差方差为 \[\hat{\bm{X}}^{\prime}=\bm{\mu}_{X^{\prime}} +(\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X^{\prime}\Delta})\, (\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1} \cdot(\bm{L}-\bm{B}\bm{\mu}_{X})\] \[\resizebox{0.98\textwidth}{!}{$ \bm{D}_{\Delta\hat{X}^{\prime}}=\bm{D}_{X^{\prime}} -(\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X^{\prime}\Delta})\, (\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1} \cdot(\bm{D}_{\Delta X^{\prime}}+\bm{B}\bm{D}_{XX^{\prime}})$} \tag{2-4-13}\] 此外，还可以求得估计误差之间的协方差 \[\begin{aligned} D(\Delta\hat{\bm{X}},\Delta\hat{\bm{X}}^{\prime})={}&\bm{D}_{XX^{\prime}} -(\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X\Delta})\, (\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+{}\\ &\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}\,(\bm{D}_{\Delta X^{\prime}}+\bm{B}\bm{D}_{XX^{\prime}}) \end{aligned} \tag{2-4-14}\] 上面得到的 (2-4-10)、(2-4-11)、(2-4-13) 和 (2-4-14) 式是极大验后滤波和推估的一般公式。在实用上，常见的是 \(\bm{D}_{\Delta X}=\bm{0}\)，\(\bm{D}_{\Delta X^{\prime}}=\bm{0}\)，即噪声与 \(\bm{X}\)、\(\bm{X}^{\prime}\) 互相独立的情况，此时，这些公式可简化为 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{X}}&=\bm{\mu}_{X}+\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}(\bm{L}-\bm{B}\bm{\mu}_{X})\\ \bm{D}_{\Delta\hat{X}}&=\bm{D}_{X}-\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{B}\bm{D}_{X} \end{aligned}\right\} \tag{2-4-15}\] \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{X}}^{\prime}&=\bm{\mu}_{X^{\prime}}+\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}(\bm{L}-\bm{B}\bm{\mu}_{X})\\ \bm{D}_{\Delta\hat{X}^{\prime}}&=\bm{D}_{X^{\prime}}-\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{B}\bm{D}_{XX^{\prime}}\\ D(\Delta\hat{\bm{X}},\Delta\hat{\bm{X}}^{\prime})&=\bm{D}_{XX^{\prime}}-\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{B}\bm{D}_{XX^{\prime}} \end{aligned}\right\} \tag{2-4-16}\] 还可以将 (2-4-16) 式写为 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{X}}^{\prime}&=\bm{\mu}_{X^{\prime}}+\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{D}_{X}^{-1}(\hat{\bm{X}}-\bm{\mu}_{X})\\ \bm{D}_{\Delta\hat{X}^{\prime}}&=\bm{D}_{X^{\prime}}-\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{D}_{X}^{-1}(\bm{D}_{X}-\bm{D}_{\Delta\hat{X}})\,\bm{D}_{X}^{-1}\bm{D}_{XX^{\prime}}\\ D(\Delta\hat{\bm{X}},\Delta\hat{\bm{X}}^{\prime})&=\bm{D}_{XX^{\prime}}-(\bm{D}_{X}-\bm{D}_{\Delta\hat{X}})\,\bm{D}_{X}^{-1}\bm{D}_{XX^{\prime}} \end{aligned}\right\} \tag{2-4-17}\]

下面再讨论两种特殊情况。

(1) 函数相关的信号的滤波公式

在最小二乘平差中，当参数是函数相关时，通常是将参数之间的函数关系作为条件方程，按附有条件的间接平差法进行平差，现设 \[\bm{X}=\begin{bmatrix}\bm{X}_{1}\\ \bm{X}_{2}\end{bmatrix},\quad E(\bm{X})=\begin{bmatrix}\bm{\mu}_{1}\\ \bm{\mu}_{2}\end{bmatrix},\quad \bm{D}_{X}=\begin{bmatrix}\bm{D}_{11}&\bm{D}_{12}\\ \bm{D}_{21}&\bm{D}_{22}\end{bmatrix}\] 其中 \(\bm{X}_{1}\) 中的各个分量是函数独立的，\(\bm{X}_{2}\) 中的各个分量也是函数独立的，而在 \(\bm{X}_{1}\) 与 \(\bm{X}_{2}\) 之间有线性关系 \[\bm{X}_{2}=\bm{H}\bm{X}_{1}+\bm{H}_{0} \tag{2-4-18}\] 则按协方差传播律得 \[\left.\begin{aligned} \bm{D}_{22}&=\bm{H}\bm{D}_{11}\bm{H}^{T}\\ \bm{D}_{12}&=\bm{D}_{11}\bm{H}^{T} \end{aligned}\right\}\] 因此，\(\bm{X}\) 的协方差阵为 \[\bm{D}_{X}=\begin{bmatrix}\bm{D}_{11}&\bm{D}_{12}\\ \bm{D}_{21}&\bm{D}_{22}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\bm{D}_{11}&\bm{D}_{11}\bm{H}^{T}\\ \bm{H}\bm{D}_{11}&\bm{H}\bm{D}_{11}\bm{H}^{T}\end{bmatrix} \tag{2-4-19}\] 显然，\(\bm{D}_{X}\) 的行列式为 \[\det(\bm{D}_{X})=0\] 故 \(\bm{D}_{X}\) 是一个奇异阵，由于正态条件概率密度 \(f(\bm{x}/\bm{l})\) 的导出要求 \(\bm{D}_{X}\) 是非奇异阵，所以当 \(\bm{X}\) 是函数相关的信号时，看起来好像不能直接按极大验后估计的基本公式求估值，但因为假定 \(\bm{X}_{1}\) 本身的分量间是函数独立的信号，所以，可以按基本公式求得 \[\hat{\bm{X}}_{1}=\bm{\mu}_{1}+\bm{D}_{X_{1}L}\bm{D}_{L}^{-1}(\bm{L}-\bm{\mu}_{L}) \tag{2-4-20}\] \[\bm{D}_{\Delta\hat{X}_{1}}=\bm{D}_{11}-\bm{D}_{X_{1}L}\bm{D}_{L}^{-1}\bm{D}_{LX_{1}} \tag{2-4-21}\] 同样，因为 \(\bm{X}_{2}\) 的分量间是函数独立的信号，所以，也可以写出 \[\hat{\bm{X}}_{2}=\bm{\mu}_{2}+\bm{D}_{X_{2}L}\bm{D}_{L}^{-1}(\bm{L}-\bm{\mu}_{L}) \tag{2-4-22}\] \[\bm{D}_{\Delta\hat{X}_{2}}=\bm{D}_{22}-\bm{D}_{X_{2}L}\bm{D}_{L}^{-1}\bm{D}_{LX_{2}} \tag{2-4-23}\] 而由 (2-4-20) 和 (2-4-22) 可知，\(\hat{\bm{X}}_{1}\)、\(\hat{\bm{X}}_{2}\) 的估计误差为 \[\left.\begin{aligned} \Delta\hat{\bm{X}}_{1}&=\bm{X}_{1}-\bm{\mu}_{1}-\bm{D}_{X_{1}L}\bm{D}_{L}^{-1}(\bm{L}-\bm{\mu}_{L})\\ &=\begin{bmatrix}\bm{E}&\bm{0}&-\bm{D}_{X_{1}L}\bm{D}_{L}^{-1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{X}_{1}\\ \bm{X}_{2}\\ \bm{L}\end{bmatrix} -\bm{\mu}_{1}+\bm{D}_{X_{1}L}\bm{D}_{L}^{-1}\bm{\mu}_{L}\\ \Delta\hat{\bm{X}}_{2}&=\begin{bmatrix}\bm{0}&\bm{E}&-\bm{D}_{X_{2}L}\bm{D}_{L}^{-1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{X}_{1}\\ \bm{X}_{2}\\ \bm{L}\end{bmatrix} -\bm{\mu}_{2}+\bm{D}_{X_{2}L}\bm{D}_{L}^{-1}\bm{\mu}_{L} \end{aligned}\right\}\] 故可得估计误差 \(\Delta\hat{\bm{X}}_{1}\) 与 \(\Delta\hat{\bm{X}}_{2}\) 之间的协方差为 \[D(\Delta\hat{\bm{X}}_{1},\Delta\hat{\bm{X}}_{2})=\bm{D}_{12}-\bm{D}_{X_{1}L}\bm{D}_{L}^{-1}\bm{D}_{LX_{2}} \tag{2-4-24}\] 又因为 \[\begin{gathered} \hat{\bm{X}}=\begin{bmatrix}\hat{\bm{X}}_{1}\\ \hat{\bm{X}}_{2}\end{bmatrix},\quad E(\bm{X}/\bm{l})=\begin{bmatrix}E(\bm{X}_{1}/\bm{l})\\ E(\bm{X}_{2}/\bm{l})\end{bmatrix},\quad \bm{D}_{XL}=\begin{bmatrix}\bm{D}_{X_{1}L}\\ \bm{D}_{X_{2}L}\end{bmatrix}\\ \bm{D}_{\Delta\hat{X}}=\begin{bmatrix} \bm{D}_{\Delta\hat{X}_{1}} & D(\Delta\hat{\bm{X}}_{1},\Delta\hat{\bm{X}}_{2})\\ D(\Delta\hat{\bm{X}}_{2},\Delta\hat{\bm{X}}_{1}) & \bm{D}_{\Delta\hat{X}_{2}} \end{bmatrix}=D(\bm{X}/\bm{l}) \end{gathered}\] 则将 (2-4-20) 与 (2-4-22) 两式合并，得 \[\begin{aligned} \hat{\bm{X}}&=\begin{bmatrix}\bm{\mu}_{1}\\ \bm{\mu}_{2}\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}\bm{D}_{X_{1}L}\\ \bm{D}_{X_{2}L}\end{bmatrix}\bm{D}_{L}^{-1}(\bm{L}-\bm{\mu}_{L})\\ &=\bm{\mu}_{X}+\bm{D}_{XL}\bm{D}_{L}^{-1}(\bm{L}-\bm{\mu}_{L}) \end{aligned} \tag{2-4-25}\] 再将 (2-4-21)、(2-4-23) 和 (2-4-24) 三式合并，可得 \[\begin{aligned} \bm{D}_{\Delta\hat{X}}&=\begin{bmatrix}\bm{D}_{11}&\bm{D}_{12}\\ \bm{D}_{21}&\bm{D}_{22}\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}\bm{D}_{X_{1}L}\\ \bm{D}_{X_{2}L}\end{bmatrix}\bm{D}_{L}^{-1} \begin{bmatrix}\bm{D}_{LX_{1}}&\bm{D}_{LX_{2}}\end{bmatrix}\\ &=\bm{D}_{X}-\bm{D}_{XL}\bm{D}_{L}^{-1}\bm{D}_{LX} \end{aligned} \tag{2-4-26}\] 若 \(\bm{X}_{1}\)（或 \(\bm{X}_{2}\)）的分量中还有函数相关的信号时，还可以将它们分开成几个向量，都可以得到以上结果。由此可见，当 \(\bm{X}\) 的分量中存在函数相关的信号时，也可按基本公式求 \(\bm{X}\) 的估值 \(\hat{\bm{X}}\) 及其误差方差。当然，对于线性模型 (2-4-5)，也允许包含函数相关的信号，即允许 \(\bm{D}_{X}\) 是奇异阵，但一般要求 \(\bm{D}_{\Delta}\) 是非奇异阵。

(2) 信号 \(\bm{X}^{\prime}\) 与 \(\bm{X}\) 有以下线性关系的情况 \[\bm{X}^{\prime}=\bm{\varPhi}\bm{X}+\bm{\varGamma}\bm{\varOmega} \tag{2-4-27}\] 式中 \(\bm{\varPhi}\) 和 \(\bm{\varGamma}\) 是系数矩阵，\(\bm{\varOmega}\) 是与 \(\bm{X}\)、\(\bm{\Delta}\) 互相独立的随机向量，设它的数学期望和方差分别为 \(\bm{\mu}_{\varOmega}\) 和 \(\bm{D}_{\varOmega}\) 由 (2-4-27) 式可得 \[E(\bm{X}^{\prime})=\bm{\mu}_{X^{\prime}}=\bm{\varPhi}\bm{\mu}_{X}+\bm{\varGamma}\bm{\mu}_{\varOmega} \tag{2-4-28}\] \[\left.\begin{aligned} \bm{D}_{X^{\prime}}&=\bm{\varPhi}\bm{D}_{X}\bm{\varPhi}^{T}+\bm{\varGamma}\bm{D}_{\varOmega}\bm{\varGamma}^{T}\\ \bm{D}_{X^{\prime}X}&=\bm{\varPhi}\bm{D}_{X}\\ \bm{D}_{X^{\prime}\Delta}&=\bm{\varPhi}\bm{D}_{X\Delta} \end{aligned}\right\} \tag{2-4-29}\] 将它们代入 (2-4-13) 和 (2-4-14) 式，得 \[\resizebox{\textwidth}{!}{$ \begin{aligned} \hat{\bm{X}}^{\prime}={}&\bm{\varPhi}\bm{\mu}_{X}+\bm{\varGamma}\bm{\mu}_{\varOmega} +(\bm{\varPhi}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{\varPhi}\bm{D}_{X\Delta})\, (\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}(\bm{L}-\bm{B}\bm{\mu}_{X})\\ \bm{D}_{\Delta\hat{X}^{\prime}}={}&\bm{\varPhi}\bm{D}_{X}\bm{\varPhi}^{T} -(\bm{\varPhi}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{\varPhi}\bm{D}_{X\Delta})\, (\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}\,(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{\varPhi}^{T}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{\varPhi}^{T}) +\bm{\varGamma}\bm{D}_{\varOmega}\bm{\varGamma}^{T}\\ D(\Delta\hat{\bm{X}},\Delta\hat{\bm{X}}^{\prime})={}&\bm{D}_{X}\bm{\varPhi}^{T} -(\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X\Delta})\, (\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}\,(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{\varPhi}^{T}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{\varPhi}^{T}) \end{aligned}$}\] 于是有 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{X}}^{\prime}&=\bm{\varPhi}\hat{\bm{X}}+\bm{\varGamma}\bm{\mu}_{\varOmega}\\ \bm{D}_{\Delta\hat{X}^{\prime}}&=\bm{\varPhi}\bm{D}_{\Delta\hat{X}}\bm{\varPhi}^{T}+\bm{\varGamma}\bm{D}_{\varOmega}\bm{\varGamma}^{T}\\ D(\Delta\hat{\bm{X}},\Delta\hat{\bm{X}}^{\prime})&=\bm{D}_{\Delta\hat{X}}\bm{\varPhi}^{T} \end{aligned}\right\} \tag{2-4-30}\] 由上式可见，对于具有关系式 (2-4-27) 的推估信号 \(\bm{X}^{\prime}\)，只要将 \(\bm{X}\) 的估值 \(\hat{\bm{X}}\) 和 \(\bm{\varOmega}\) 的数学期望代入此关系式，就可得到估值 \(\hat{\bm{X}}^{\prime}\)，而它的误差方差 \(\bm{D}_{\Delta\hat{X}^{\prime}}\) 及 \(D(\Delta\hat{\bm{X}},\Delta\hat{\bm{X}}^{\prime})\) 也可由此式按协方差传播律直接得出。

例 2-4-1

设已知 \(n\) 个观测点和 \(n^{\prime}\) 个未测点重力异常 \(\Delta g\) 和 \(\Delta g^{\prime}\) 的先验期望 \(\mu_{\Delta g}=0\)，\(\mu_{\Delta g^{\prime}}=0\)，先验方差分别为 \(\bm{D}_{\Delta g}\) 和 \(\bm{D}_{\Delta g^{\prime}}\)，\(\Delta g^{\prime}\) 关于 \(\Delta g\) 的协方差为 \(\bm{C}\)，在 \(n\) 个观测点上得到 \(\Delta g\) 的观测值为 \(\underset{n\times 1}{\bm{L}}\)，观测噪声 \(\underset{n\times 1}{\bm{\Delta}}\) 的方差为 \(\underset{n\times n}{\bm{D}_{\Delta}}\)，求 \(n^{\prime}\) 个未测点重力异常推估值 \(\Delta\hat{g}^{\prime}\) 及其方差。

这里重力异常 \(\Delta g\) 就是滤波信号，\(\Delta g^{\prime}\) 就是推估信号，则有观测方程 \[\bm{L}=\Delta g+\bm{\Delta}\] 根据推估公式 (2-4-15) 可得 \(\Delta g^{\prime}\) 的估值及其误差方差分别为 \[\begin{gathered} \Delta\hat{g}^{\prime}=\bm{C}(\bm{D}_{\Delta g}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{L}\\ \bm{D}_{\Delta\hat{g}^{\prime}}=\bm{D}_{\Delta g^{\prime}}-\bm{C}(\bm{D}_{\Delta g}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{C}^{T} \end{gathered}\] 可以看到，当不考虑观测噪声时，则有 \[\begin{gathered} \Delta\hat{g}^{\prime}=\bm{C}\bm{D}_{\Delta g}^{-1}\bm{L}\\ \bm{D}_{\Delta\hat{g}^{\prime}}=\bm{D}_{\Delta g^{\prime}}-\bm{C}\bm{D}_{\Delta g}^{-1}\bm{C}^{T} \end{gathered}\] 上式也就是根据已测点信号的观测值求未测点信号的纯内插（或外推）公式。

例 2-4-2

设已知 \[\bm{L}=\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix},\quad \bm{\mu}_{X}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix},\quad \bm{D}_{X}=\begin{bmatrix}2&0\\ 0&2\end{bmatrix}\] \[\bm{D}_{\Delta}=\begin{bmatrix}2&0\\ 0&2\end{bmatrix},\quad \bm{D}_{X\Delta}=\begin{bmatrix}0&-1\\ 0&0\end{bmatrix}\] 观测方程为 \[\begin{bmatrix}L_{1}\\ L_{2}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1&-1\\ -1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_{1}\\ X_{2}\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}\Delta_{1}\\ \Delta_{2}\end{bmatrix}\] 求信号 \(\bm{X}\) 的估值 \(\hat{\bm{X}}\) 及其误差方差 \(\bm{D}_{\Delta\hat{X}}\) \[\bm{D}_{L}=\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta} =\begin{bmatrix}6&3\\ 3&6\end{bmatrix}\] \[\bm{D}_{L}^{-1}=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}2&-1\\ -1&2\end{bmatrix}\] \[\bm{D}_{XL}=\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X\Delta}=\begin{bmatrix}-2&-3\\ -2&0\end{bmatrix}\] \[\hat{\bm{X}}=\begin{bmatrix}\hat{X}_{1}\\ \hat{X}_{2}\end{bmatrix} =\bm{D}_{XL}\bm{D}_{L}^{-1}\bm{L} =\frac{1}{9}\begin{bmatrix}-2&-3\\ -2&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&-1\\ -1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix} =-\frac{1}{9}\begin{bmatrix}5\\ 2\end{bmatrix}\] \[\bm{D}_{\Delta\hat{X}}=\bm{D}_{X}-\bm{D}_{XL}\bm{D}_{L}^{-1}\bm{D}_{LX} =\begin{bmatrix}\dfrac{4}{9}&-\dfrac{2}{9}\\[6pt] -\dfrac{2}{9}&\dfrac{10}{9}\end{bmatrix}\]

协方差函数及其估计

前述的随机向量是由一组随机变量构成，假定这族随机变量是不随时间或其他因素而变化的，相应的方差——协方差阵中各元素也不随时间等因素而变化，即方差、协方差与时间等因素无关。

但在测量实际问题中，往往还存在一类时间或其他因素（如位置等）而不断变化的随机现象，由此构成一族无穷多个互相关联的随机变量。例如，测定卫星到地面站的距离，对于固定的时刻 \(t\)，这个距离是一随机变量，随着时刻 \(t\) 的变化，构成了互相关联的随机变量族。又例如，测区各点重力异常可认为是随着距离变化的一族随机变量等。这族随机变量构成随机过程，可用随机过程统计理论予以处理。

测量数据处理中常用到的是宽平稳随机过程模型，即此随机过程 \(x(t)\) 具有性质 \[\begin{gathered} (1)\quad E(X(t))=\mu_{x}(t)=\mu_{x}=\text{常数}\\ (2)\quad D_{x}(t,t+\tau)=D_{x}(\tau) \end{gathered}\] 性质 (1) 表示随机过程中各随机变量的期望相等，不随时间变化为一常数，性质 (2) 表示随机过程中不同时刻（或位置）的两个变量的协方差仅与其时间间隔有关，而与时间起点无关。性质 (2) 也表明协方差是时间的函数，具有这种性质的协方差称为协方差函数。

协方差函数的严密表达式是难以准确求得的，实际中主要根据观测或实验得到的实现来对它进行估计。

假定已得到 \(x(t)\) 在区间 \([t_{0},t_{0}+T]\) 上的 \(n\) 个实现 \(x_{i}(t)\,(i=1,2,\cdots,n)\)，将这个区间分成 \(m\) 个等分，对每一个 \(t_{j}\,(j=1,2,\cdots,m)\) 都有 \(x(t_{j})\) 的 \(n\) 个子样观测值。如果 \(X(t_{j})\) 的期望 \(\mu_{x}(t_{j})\) 是已知的，则 \(X(t)\) 的协方差函数估值为 \[\hat{D}_{x}(t_{j},t_{k})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left\{(x_{i}(t_{j})-\mu_{x}(t_{j}))\,(x_{i}(t_{k})-\mu_{x}(t_{k}))\right\} \tag{2-4-31}\] 如果 \(\mu_{x}(t_{j})\) 是未知的，可先求其估值 \[\hat{\mu}_{x}(t_{j})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}(t_{j}) \tag{2-4-32}\] 此时，协方差函数的估值为 \[D_{x}(t_{j},t_{k})=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left\{(x_{i}(t_{j})-\hat{\mu}_{x}(t_{j}))\,(x_{i}(t_{k})-\hat{\mu}_{x}(t_{k}))\right\} \tag{2-4-33}\] 对于具有各态历经性的平稳随机过程 \(X(t)\)，可以由其一个实现进行估计。将区间 \([0,T]\) 分成长为 \(\Delta t\) 的 \(n\) 个相等的小区间，并以 \(t_{j}=j\Delta t\) 表示每个小区间的终点（\(j=1,2,\cdots,n\)），则 \(T=n\Delta t\)，所以，当 \(X(t)\) 的期望为已知常数 \(\mu_{x}\) 时，协方差函数的估值为 \[\hat{D}_{x}(\tau_{k})=\frac{1}{n-k}\sum_{j=1}^{n-k}\left\{[x(j\Delta t)-\mu_{x}]\,[x((j+k)\Delta t)-\mu_{x}]\right\} \tag{2-4-34}\] 其中 \(\tau_{k}=k\Delta t\,(k=1,2,\cdots,n)\)。

当 \(X(t)\) 的期望 \(\mu_{x}\) 未知时，也可先求其估值 \[\hat{\mu}_{x}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}x(j\Delta t) \tag{2-4-35}\] 然后再按下式估计协方差函数 \[\hat{D}_{x}(\tau_{k})=\frac{1}{n-k-1}\sum_{j=1}^{n-k}\left\{[x(j\Delta t)-\hat{\mu}_{x}]\,[x((j+k)\Delta t)-\hat{\mu}_{x}]\right\} \tag{2-4-36}\] 由于间隔 \(\tau\) 是任意的，而且它的值往往是根据观测得到的实现来选择的，因此，当许多时刻 \(t_{j}\) 处的协方差函数之值算出后，则相应的协方差函数也可以求得。但由于测量数据和模型的误差影响，所求得的协方差函数并不能表为时刻 \(t\) 的函数。为了合理地确定协方差函数的表达式，可选择适当的函数式，应用最小二乘拟合法来确定最后的协方差函数。其中高斯曲线函数式 \[D(\tau)=D(0)\exp\left\{-k^{2}\tau^{2}\right\} \tag{2-4-37}\] 等应用较广。例如，美国的希尔沃年导出的俄亥俄地区的重力异常协方差函数式为 \[D(S)=D(0)\left/\left(1+\frac{S^{2}}{d^{2}}\right)\right. \tag{2-4-38}\] 式中 \(S\) 为距离，\(D(0)=337\,\mathrm{mGal}^{2}\)（方差），\(d=40\,\mathrm{km}\)。

例 2-4-3

沿 \(A\)、\(B\) 连线在 \(A\)、\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\) 等五个点测定了大气温度得到了 18 组观测值 \(x_{ij}\)，其结果列于表 2-10，已知各点的距离 \(S_{Aj}\,(j=1,2,3,4)\) 分别为 \[4.511,\ 10.747,\ 16.753,\ 22.220\,(\mathrm{km})\] 假定 \(AB\) 连线上的大气温度，是一个以各点至 \(A\) 的距离 \(S\) 为因素的平稳随机过程，试估计此随机过程的协方差函数。

解因为是平稳随机过程，故其期望的估值为 \[\hat{\mu}_{x}=\frac{1}{90}\sum_{i,j}x_{ij}=16.4656\,℃\] 按 (2-4-33) 式计算 \(A\)、\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\) 等五个测站上温度这一随机变量的协方差之值为 \[\hat{\bm{D}}_{x}^{\prime}=\begin{bmatrix} 0.1168 & 0.0958 & 0.0506 & 0.0466 & 0.0394\\ & 0.1362 & 0.0705 & 0.1023 & 0.1047\\ \text{对} && 0.1073 & 0.0567 & 0.0346\\ &\text{称} && 0.1529 & 0.1561\\ &&&& 0.2203 \end{bmatrix}\] 对此协方差拟合距离多项式 \[D(S_{ij})=b_{0}+b_{1}S_{ij}+b_{2}S_{ij}^{2}+b_{3}S_{ij}^{3}+b_{4}S_{ij}^{4}\] 可得协方差函数式为（\(S_{ij}\) 以 10km 为单位） \[D(S_{ij})=0.14683-0.007689S_{ij}-0.286863S_{ij}^{2}+0.278124S_{ij}^{3}-0.070759S_{ij}^{4} \tag{2-4-39}\] 最后求得由协方差函数计算的上述五个测站上大气温度的协方差阵为 \[\hat{\bm{D}}_{x}=\begin{bmatrix} 0.1468 & 0.1076 & 0.0581 & 0.0792 & 0.0398\\ & 0.1468 & 0.0872 & 0.0589 & 0.0823\\ \text{对} && 0.1468 & 0.0898 & 0.0578\\ &\text{称} && 0.1468 & 0.0960\\ &&&& 0.1468 \end{bmatrix}\]

例 2-4-4

同 [例 2-4-3]，已知 \(S_{AB}=23.00\,\mathrm{km}\)，测得 \(A\)、\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\) 五个测站上的大气温度为 \[\bm{L}=\begin{pmatrix}19.0^{\circ}&20.1^{\circ}&18.7^{\circ}&19.2^{\circ}&19.8^{\circ}\end{pmatrix}^{T}\] 试推估 \(B\) 点大气温度 \(\hat{t}_{B}\)。

解根据推估公式 \[\hat{t}_{B}=\mu_{t_{B}}+D_{t_{B}L}\bm{D}_{L}^{-1}(\bm{L}-\bm{\mu}_{L}) \tag{2-4-40}\] 计算 \[\mu_{t_{B}}=\mu_{L_{i}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}L_{i}=19.36^{\circ}\] 按 (2-4-39) 式得 \[D_{t_{B}L}=\begin{bmatrix}0.015448&0.0829630&0.058869&0.087106&0.144614\end{bmatrix}\] \[\bm{D}_{L}^{-1}=\hat{\bm{D}}_{x}^{-1}\] \[(\bm{L}-\bm{\mu}_{L_{i}})^{T}=\begin{bmatrix}-0.36&0.74&-0.66&-0.16&0.44\end{bmatrix}\] 最后，按 (2-4-40) 式可得 \(B\) 测站大气温度的推估值为 \(\hat{t}_{B}=20.78\,℃\)。

最小二乘配置

配置（Collocation）也称为拟合推估。最初是指组合各种资料来研究地球形状与重力场的一种数学方法，其理论由 Trarup 于 1969 年提出。在地球形状重力场的研究中，配置的普遍形式是在其函数模型中除包含随机部分外，还包含非随机的系统部分（也称为倾向）。这种兼有求定信号和倾向参数估值的情况在其他测量平差问题中也往往会出现，用广义最小二乘原理平差这类问题，故称为最小二乘配置，简称为配置法。此外，在地球形状重力场以及其他平差问题，常需要求定的是推估信号 \(\bm{X}^{\prime}\) 的最佳估值 \(\hat{\bm{X}}^{\prime}\) 和倾向参数的最佳估值，而倾向参数又往往是某种拟合函数的系数，因此配置法又称为拟合推估。

最小二乘配置法最早应用于物理大地测量，因此，我们先看一个重力测量的例子。

在 2-4 节的例 2-4-1 中，是将地面上各点的重力异常看做是一种随机信号，并认为它们不包含系统部分，但对于许多地区，重力异常不仅包含有随机部分，而且包含着系统部分。这种系统部分一般表示为各点坐标 \((x_{i},y_{i})\) 的线性函数 \[T_{i}=a_{0}+a_{1}(x_{i}-x_{0})+a_{2}(y_{i}-y_{0}) \tag{2-5-1}\] 其中 \(x_{0}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\)，\(y_{0}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}y_{i}\)；\(a_{0}\)、\(a_{1}\) 和 \(a_{2}\) 是函数中的待定系数，这些都是待定的非随机参数，也就是倾向参数，令 \[\bm{Y}=\begin{bmatrix}a_{0}\\ a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix},\quad \bm{G}=\begin{bmatrix}\bm{G}_{1}\\ \bm{G}_{2}\\ \vdots\\ \bm{G}_{n}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & x_{1}-x_{0} & y_{1}-y_{0}\\ 1 & x_{2}-x_{0} & y_{2}-y_{0}\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ 1 & x_{n}-x_{0} & y_{n}-y_{0} \end{bmatrix} \tag{2-5-2}\] 则 (2-5-1) 式可写为 \[T_{i}=\bm{G}_{i}\bm{Y} \tag{2-5-3}\] 仍设重力异常的随机部分（信号）为 \(\bm{X}\)，若在这 \(n\) 个点上得到了重力异常观测值 \(\underset{n\times 1}{\bm{L}}\)，其噪声（观测误差）为 \(\underset{n\times 1}{\bm{\Delta}}\)，则在这几个观测点上的重力异常值 \(\Delta g\) 应为 \[\Delta g=\bm{L}-\bm{\Delta}=\bm{G}\bm{Y}+\bm{X} \tag{2-5-4}\] 而对于未测点，若用 \(\bm{X}^{\prime}\) 表示这些点上的信号，则应按下式内插它们的重力异常值 \(\Delta g\)： \[\Delta g_{p}=\bm{G}_{p}\bm{Y}+\bm{X}^{\prime} \tag{2-5-5}\] 式中 \(\bm{G}_{p}\) 的计算公式与 (2-5-2) 式的 \(\bm{G}\) 相似。

由 (2-5-4) 式可得到观测方程 \[\bm{L}=\bm{G}\bm{Y}+\bm{X}+\bm{\Delta} \tag{2-5-6}\] 用最小二乘配置法求重力异常，就是以 (2-5-6) 式为数学模型来确定信号 \(\bm{X}\)、\(\bm{X}^{\prime}\) 和倾向参数 \(\bm{Y}\) 的最佳估值 \(\hat{\bm{X}}\)、\(\hat{\bm{X}}^{\prime}\) 和 \(\hat{\bm{Y}}\)，然后再由 (2-5-4) 和 (2-5-5) 两式求得各点的重力异常最佳估值。

在数学模型 (2-5-6) 中，既包含有倾向参数 \(\bm{Y}\)，又包含有信号 \(\bm{X}\)。这种同时求定不考虑随机性的倾向参数 \(\bm{Y}\) 和具有随机性信号的最优估值的方法，就是最小二乘配置法。

最小二乘配置的函数模型一般是 \[\bm{L}=\bm{B}\bm{X}+\bm{G}\bm{Y}+\bm{\Delta} \tag{2-5-7}\] 式中 \(\underset{n\times 1}{\bm{L}}\) 为观测向量，\(\underset{n\times 1}{\bm{\Delta}}\) 为观测噪声，\(\bm{Y}\) 为倾向参数，\(\underset{t_{1}\times 1}{\bm{X}}\) 为滤波信号，另外还有推估信号 \(\underset{t_{2}\times 1}{\bm{X}^{\prime}}\)，其随机模型与 2-4 的 (2-4-6) 式相同。

最小二乘滤波和推估

当模型 (2-5-7) 中倾向参数 \(\bm{y}=\bm{0}\) 时，这是滤波模型，它是不存在倾向参数时的配置模型。

根据广义最小二乘原理来导出 2-4 节中的滤波和推估公式，或者按最小二乘平差方法求解滤波和推估模型，称为最小二乘滤波和推估。

在 1-9 节中已说明，对于线性模型 (2-4-1)，根据广义最小二乘原理，当 \(\operatorname{cov}(\bm{X},\bm{\Delta})=\bm{D}_{X\Delta}=\bm{0}\)，且 \(\operatorname{cov}(\bm{X}^{\prime},\bm{\Delta})=\bm{D}_{X^{\prime}\Delta}=\bm{0}\) 时，可将 \(\bm{X}\) 和 \(\bm{X}^{\prime}\) 的先验期望 \(\bm{\mu}_{X}\)，\(\bm{\mu}_{X^{\prime}}\) 当做与观测误差 \(\bm{\Delta}\)（或观测值 \(\bm{L}\)）互相独立的虚拟观测值，并以 \(\bm{D}_{X}\)、\(\bm{D}_{X^{\prime}}\)、\(\bm{D}_{XX^{\prime}}\) 作为它们的方差、协方差，而将 \(\bm{X}\) 视为非随机参数，即可按普通的最小二乘平差法进行平差，或由此导出 2-4 节中的滤波和推估公式。此时，可记 \[\bm{L}_{X}=\bm{\mu}_{X},\quad \bm{L}_{X^{\prime}}=\bm{\mu}_{X^{\prime}}\] 并以 \(\bm{V}_{X}\) 和 \(\bm{V}_{X^{\prime}}\) 表示其改正数向量，则此时的广义最小二乘原理可写为 \[\bm{V}^{T}\bm{D}_{\Delta}^{-1}\bm{V} +\begin{bmatrix}\bm{V}_{X}^{T}&\bm{V}_{X^{\prime}}^{T}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{D}_{X}&\bm{D}_{XX^{\prime}}\\ \bm{D}_{X^{\prime}X}&\bm{D}_{X^{\prime}}\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}\bm{V}_{X}\\ \bm{V}_{X^{\prime}}\end{bmatrix}=\min \tag{2-5-8}\] 如不考虑 \(\bm{X}^{\prime}\)，则为滤波问题，有 \[\bm{V}^{T}\bm{D}_{\Delta}^{-1}\bm{V}+\bm{V}_{X}^{T}\bm{D}_{X}^{-1}\bm{V}_{X}=\min \tag{2-5-9}\] 设滤波和推估的函数模型仍为 (2-4-1)，随机模型为 (2-4-6)，其中 \(\bm{D}_{X\Delta}=\bm{0}\)，\(\bm{D}_{X^{\prime}\Delta}=\bm{0}\)。

根据广义最小二乘原理，可写出观测方程 \[\left.\begin{aligned} \bm{L}_{X}&=\bm{X}+\bm{\Delta}_{x}\\ \bm{L}_{X^{\prime}}&=\bm{X}^{\prime}+\bm{\Delta}_{x^{\prime}} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-10}\] \[\bm{L}=\begin{bmatrix}\bm{B}&\bm{0}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{X}\\ \bm{X}^{\prime}\end{bmatrix}+\bm{\Delta} \tag{2-5-11}\] 注意上式中的 \(\bm{X}\) 和 \(\bm{X}^{\prime}\) 应视为非随机量，此时有 \[\left.\begin{aligned} &\operatorname{var}(\bm{L})=\bm{D}_{\Delta},\ \operatorname{var}(\bm{L}_{X})=\bm{D}_{X},\ \operatorname{var}(\bm{L}_{X^{\prime}})=\bm{D}_{X^{\prime}}\\ &\operatorname{cov}(\bm{L}_{X},\bm{L}_{X^{\prime}})=\bm{D}_{XX^{\prime}},\ \operatorname{cov}(\bm{L},\bm{L}_{X})=\bm{0}\\ &\operatorname{cov}(\bm{L},\bm{L}_{X^{\prime}})=\bm{0} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-12}\] 相应的误差方程和权阵为 \[\begin{bmatrix}\bm{V}_{Z}\\ \bm{V}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\bm{E}\\ \bm{B}_{Z}\end{bmatrix}\hat{\bm{Z}} -\begin{bmatrix}\bm{L}_{Z}\\ \bm{L}\end{bmatrix} \tag{2-5-13}\] \[\bm{P}=\begin{bmatrix}\bm{P}_{Z}&\\ &\bm{P}_{\Delta}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\bm{D}_{Z}^{-1}&\\ &\bm{D}_{\Delta}^{-1}\end{bmatrix} \quad(\text{令}\ \sigma_{0}^{2}=1) \tag{2-5-14}\] 式中 \[\begin{gathered} \hat{\bm{Z}}=\begin{bmatrix}\hat{\bm{X}}\\ \hat{\bm{X}}^{\prime}\end{bmatrix},\quad \bm{L}_{Z}=\begin{bmatrix}\bm{L}_{X}\\ \bm{L}_{X^{\prime}}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\bm{\mu}_{X}\\ \bm{\mu}_{X^{\prime}}\end{bmatrix},\quad \bm{V}_{Z}=\begin{bmatrix}\bm{V}_{X}\\ \bm{V}_{X^{\prime}}\end{bmatrix},\quad \bm{\Delta}_{Z}=\begin{bmatrix}\Delta\bm{X}\\ \Delta\bm{X}^{\prime}\end{bmatrix}\\ \bm{B}_{Z}=\begin{bmatrix}\bm{B}&\bm{0}\end{bmatrix},\quad \bm{D}_{Z}=\begin{bmatrix}\bm{D}_{X}&\bm{D}_{XX^{\prime}}\\ \bm{D}_{X^{\prime}X}&\bm{D}_{X^{\prime}}\end{bmatrix} \end{gathered}\] 在最小二乘原理 (2-5-8) 下，由 (2-5-13)、(2-5-14) 可组成法方程为 \[(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z})\,\hat{\bm{Z}} =\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{L}+\bm{P}_{Z}\bm{L}_{Z} \tag{2-5-15}\] 由此可解得非随机参数 \(\bm{Z}\) 的估值 \[\hat{\bm{Z}}=(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z})^{-1} (\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{L}+\bm{P}_{Z}\bm{L}_{Z}) \tag{2-5-16}\] 及其方差为 \[\bm{D}_{\hat{Z}}=(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z})^{-1} =(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{D}_{\Delta}^{-1}\bm{B}_{Z}+\bm{D}_{Z}^{-1})^{-1} \tag{2-5-17}\] 以上导得的 (2-5-16) 和 (2-5-17) 式就是最小二乘滤波和推估公式。

根据矩阵反演公式可将 (2-5-17) 式写为 \[\bm{D}_{\hat{Z}}=\bm{D}_{Z}-\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}(\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z} \tag{2-5-18}\]

而 (2-5-16) 式可写为 \[\begin{aligned} \hat{\bm{Z}}={}&(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{D}_{\Delta}^{-1}\bm{B}_{Z}+\bm{D}_{Z}^{-1})^{-1}\bm{B}_{Z}^{T}\bm{D}_{\Delta}^{-1}\bm{L} +(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{D}_{\Delta}^{-1}\bm{B}_{Z}+\bm{D}_{Z}^{-1})^{-1}\bm{D}_{Z}^{-1}\bm{L}_{Z}\\ ={}&\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}(\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{L} +\{\bm{D}_{Z}-\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}(\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\}\,\bm{D}_{Z}^{-1}\bm{L}_{Z} \end{aligned}\] 即有 \[\hat{\bm{Z}}=\bm{L}_{Z} +\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}(\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}(\bm{L}-\bm{B}_{Z}\bm{L}_{Z}) \tag{2-5-19}\] 因为 \[\left.\begin{aligned} \bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}&=\begin{bmatrix}\bm{B}&\bm{O}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{D}_{X}&\bm{D}_{XX^{\prime}}\\ \bm{D}_{X^{\prime}X}&\bm{D}_{X^{\prime}}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{B}^{T}\\ \bm{O}\end{bmatrix} =\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}\\ \bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}&= \begin{bmatrix}\bm{D}_{X}&\bm{D}_{XX^{\prime}}\\ \bm{D}_{X^{\prime}X}&\bm{D}_{X^{\prime}}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{B}^{T}\\ \bm{O}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}\\ \bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}\end{bmatrix}\\ &\bm{B}_{Z}\bm{L}_{Z}=\bm{B}\bm{L}_{X} \end{aligned}\right\}\] 将它代入 (2-5-19) 和 (2-5-18) 式可得 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{X}}&=\bm{L}_{X}+\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}(\bm{L}-\bm{B}\bm{L}_{X})\\ \hat{\bm{X}}^{\prime}&=\bm{L}_{X^{\prime}}+\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}(\bm{L}-\bm{B}\bm{L}_{X}) \end{aligned}\right\} \tag{2-5-20}\] 以及 \[\left.\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{X}}&=\bm{D}_{X}-\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{B}\bm{D}_{X}\\ \bm{D}_{\hat{X}^{\prime}}&=\bm{D}_{X^{\prime}}-\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{B}\bm{D}_{XX^{\prime}}\\ \bm{D}_{\hat{X}\hat{X}^{\prime}}&=\bm{D}_{XX^{\prime}}-\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{B}\bm{D}_{XX^{\prime}} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-21}\] 可以看到，上述两式与 2-4 节中的滤波和推估公式 (2-4-15)、(2-4-16) 相同，需要注意的是，由于在这里是将信号 \(\bm{X}\)、\(\bm{X}^{\prime}\) 当做非随机参数，因此，其估值 \(\hat{\bm{X}}\) 和 \(\hat{\bm{X}}^{\prime}\) 的方差、协方差与它们的误差方差相等。

而在仍将信号作为随机参数时，(2-5-21) 中的 \(\bm{D}_{\hat{X}}\)、\(\bm{D}_{\hat{X}^{\prime}}\) 和 \(\bm{D}_{\hat{X}\hat{X}^{\prime}}\) 应该表示估值误差的方差和协方差。以后在不致混淆的情况下，一般就用 \(\bm{D}_{\hat{X}}\)、\(\bm{D}_{\hat{X}^{\prime}}\)、\(\bm{D}_{\hat{X}\hat{X}^{\prime}}\) 表示估值的误差方差和协方差，或者说，是在将信号当做非随机量时的估值方差和协方差。可见，按广义最小二乘原理可以导出滤波与推估的一般公式。

当 \(\bm{D}_{X\Delta}\neq\bm{0}\)，\(\bm{D}_{X^{\prime}\Delta}\neq\bm{0}\) 的一般情况下，最小二乘滤波和推估公式可作类似推导得出，并证明与极大验后滤波和推估公式相同。这将在最小二乘配置中给出公式和证明。

最小二乘配置的估值公式

最小二乘配置的函数模型是 (2-5-7) 式。用 \(\bm{L}_{X}\)、\(\bm{L}_{X^{\prime}}\) 表示被当作虚拟观测值的先验期望 \(\bm{\mu}_{X}\)、\(\bm{\mu}_{X^{\prime}}\)，将信号 \(\bm{X}\)、\(\bm{X}^{\prime}\) 当作非随机参数，按广义最小二乘原理，可写出观测方程 \[\left.\begin{aligned} \bm{L}_{X}&=\bm{X}+\bm{\Delta}_{X}\\ \bm{L}_{X^{\prime}}&=\bm{X}^{\prime}+\bm{\Delta}_{X^{\prime}}\\ \bm{L}&=\bm{B}\bm{X}+\bm{G}\bm{Y}+\bm{\Delta} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-22}\] 相应有误差方程 \[\left.\begin{aligned} \bm{V}_{X}&=\hat{\bm{X}}-\bm{L}_{X}\\ \bm{V}_{X^{\prime}}&=\hat{\bm{X}}^{\prime}-\bm{L}_{X^{\prime}}\\ \bm{V}&=\bm{B}\hat{\bm{X}}+\bm{G}\hat{\bm{Y}}-\bm{L} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-23}\] 此时观测值 \(\bm{L}_{X}\)、\(\bm{L}_{X^{\prime}}\)、\(\bm{L}\) 的方差阵为（见 (1-9-16) 式） \[\overline{\bm{D}}=\begin{bmatrix} \bm{D}_{X} & \bm{D}_{XX^{\prime}} & -\bm{D}_{X\Delta}\\ \bm{D}_{X^{\prime}X} & \bm{D}_{X^{\prime}} & -\bm{D}_{X^{\prime}\Delta}\\ -\bm{D}_{\Delta X} & -\bm{D}_{\Delta X^{\prime}} & \bm{D}_{\Delta} \end{bmatrix}\] 先考虑 \(\bm{D}_{X\Delta}=\bm{0}\)，\(\bm{D}_{X^{\prime}\Delta}=\bm{0}\) 的情况，也设 \[\begin{gathered} \bm{L}_{Z}=\begin{bmatrix}\bm{L}_{X}\\ \bm{L}_{X^{\prime}}\end{bmatrix},\quad \bm{V}_{Z}=\begin{bmatrix}\bm{V}_{X}\\ \bm{V}_{X^{\prime}}\end{bmatrix},\quad \hat{\bm{Z}}=\begin{bmatrix}\hat{\bm{X}}\\ \hat{\bm{X}}^{\prime}\end{bmatrix}\\ \bm{B}_{Z}=\begin{bmatrix}\bm{B}&\bm{0}\end{bmatrix},\quad \bm{D}_{Z}=\begin{bmatrix}\bm{D}_{X}&\bm{D}_{XX^{\prime}}\\ \bm{D}_{X^{\prime}X}&\bm{D}_{X^{\prime}}\end{bmatrix} \end{gathered}\] 则 (2-5-23) 式可写为 \[\left.\begin{aligned} \bm{V}_{Z}&=\hat{\bm{Z}}-\bm{L}_{Z}\\ \bm{V}&=\bm{B}_{Z}\hat{\bm{Z}}+\bm{G}\hat{\bm{Y}}-\bm{L} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-24}\] 权矩阵 \(\bm{P}_{\Delta}\)、\(\bm{P}_{Z}\) 为 \[\bm{P}_{\Delta}=\sigma_{0}^{2}\bm{D}_{\Delta}^{-1},\quad \bm{P}_{Z}=\sigma_{0}^{2}\bm{D}_{Z}^{-1}\] 现取单位权方差 \(\sigma_{0}^{2}=1\)，则 \[\bm{P}_{\Delta}=\bm{D}_{\Delta}^{-1},\quad \bm{P}_{Z}=\bm{D}_{Z}^{-1}\] 根据间接平差法得法方程为 \[\left.\begin{aligned} (\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z})\,\hat{\bm{Z}} +\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G}\hat{\bm{Y}} &=(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{L}+\bm{P}_{Z}\bm{L}_{Z})\\ \bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}\hat{\bm{Z}} +\bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G}\hat{\bm{Y}} &=\bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{L} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-25}\] 由此可解得 \[\begin{bmatrix}\hat{\bm{Z}}\\ \hat{\bm{Y}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z} & \bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G}\\ \bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z} & \bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{L}+\bm{P}_{Z}\bm{L}_{Z}\\ \bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{L} \end{bmatrix} \tag{2-5-26}\] 且它们的方差阵为 \[\begin{bmatrix} \bm{D}_{\hat{Z}} & \bm{D}_{\hat{Z}\hat{Y}}\\ \bm{D}_{\hat{Y}\hat{Z}} & \bm{D}_{\hat{Y}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z} & \bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G}\\ \bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z} & \bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G} \end{bmatrix}^{-1} \tag{2-5-27}\] (2-5-26)、(2-5-27) 两式就是最小二乘配置的计算公式。

又由 (2-5-25) 式的第一式可得 \[\begin{aligned} \hat{\bm{Z}}={}&(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z})^{-1}\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}(\bm{L}-\bm{G}\hat{\bm{Y})}+{}\\ &(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z})^{-1}\bm{P}_{Z}\bm{L}_{Z} \end{aligned} \tag{2-5-28}\] 应用矩阵反演公式将上式变换为 \[\begin{aligned} \hat{\bm{Z}}={}&\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}(\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}(\bm{L}-\bm{G}\hat{\bm{Y}})+{}\\ &\{\bm{D}_{Z}-\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}(\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\}\,\bm{P}_{Z}\bm{L}_{Z} \end{aligned}\] 即有 \[\hat{\bm{Z}}=\bm{L}_{Z} +\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}(\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}(\bm{L}-\bm{G}\hat{\bm{Y}}-\bm{B}_{Z}\bm{L}_{Z}) \tag{2-5-29}\] 再将 (2-5-28) 式代入 (2-5-25) 式的第二式可得 \[\begin{aligned} &\{\bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G}-\bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z})^{-1}\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G}\}\,\hat{\bm{Y}}\\ ={}&\{\bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{L}-\bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z})^{-1}(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{L}+\bm{P}_{Z}\bm{L}_{Z})\} \end{aligned} \tag{2-5-30}\] 应用矩阵反演公式，并考虑 \[\left.\begin{aligned} \bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}&=\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}\\ \bm{B}_{Z}\bm{L}_{Z}&=\bm{B}\bm{L}_{X}\\ \bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}&=\begin{bmatrix}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}\\ \bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}\end{bmatrix} \end{aligned}\right\}\] 则由 (2-5-30) 式可得 \[\hat{\bm{Y}}=\{\bm{G}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{G}\}^{-1} \bm{G}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}(\bm{L}-\bm{B}\bm{L}_{X}) \tag{2-5-31}\] 而由 (2-5-29) 式可得 \[\hat{\bm{X}}=\bm{L}_{X} +\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}(\bm{L}-\bm{G}\hat{\bm{Y}}-\bm{B}\bm{L}_{X}) \tag{2-5-32}\] \[\hat{\bm{X}}^{\prime}=\bm{L}_{X^{\prime}} +\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}(\bm{L}-\bm{G}\hat{\bm{Y}}-\bm{B}\bm{L}_{X}) \tag{2-5-33}\] 按照矩阵求逆公式，由 (2-5-27) 式可得 \(\hat{\bm{Y}}\) 的方差为 \[\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{Y}}&=\{\bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G} -(\bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z})\,(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z})^{-1}(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G})\}^{-1}\\ &=\{\bm{G}^{T}(\bm{P}_{\Delta}-\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z})^{-1}\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta})\,\bm{G}\}^{-1} \end{aligned}\] 由矩阵反演公式可得 \[\bm{D}_{\hat{Y}}=(\bm{G}^{T}(\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{G})^{-1} =(\bm{G}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{G})^{-1} \tag{2-5-34}\] 而 \(\hat{\bm{Z}}\) 的方差为 \[\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{Z}}={}&(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z})^{-1} +(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z})^{-1}\cdot\\ &(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G})\,\bm{D}_{Y}(\bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z})\,(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z})^{-1} \end{aligned}\] 按矩阵反演公式可化为 \[\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{Z}}={}&\bm{D}_{Z}-\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}(\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z} +\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}\cdot\\ &(\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{G}\bm{D}_{\hat{Y}}\bm{G}^{T} (\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{B}_{Z}\bm{D}\\ ={}&\bm{D}_{Z}-\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}(\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1} \{\bm{E}-\bm{G}\bm{D}_{\hat{Y}}\bm{G}^{T}(\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\}\,\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z} \end{aligned}\] 展开上式即得 \[\bm{D}_{\hat{X}}=\bm{D}_{X} -\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1} \{\bm{E}-\bm{G}\bm{D}_{\hat{Y}}\bm{G}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\}\,\bm{B}\bm{D}_{X} \tag{2-5-35}\] \[\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{X}^{\prime}}={}&\bm{D}_{X^{\prime}} -\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1} \{\bm{E}-{}\\ &\bm{G}\bm{D}_{\hat{Y}}\bm{G}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\}\,\bm{B}\bm{D}_{XX^{\prime}} \end{aligned} \tag{2-5-36}\] (2-5-31) 至 (2-5-36) 诸式就是最小二乘配置法中求估值及其方差的公式。

此外，由 (2-5-27) 式还可得 \[\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{Z}\hat{Y}}&=-(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}_{Z}+\bm{P}_{Z})^{-1}(\bm{B}_{Z}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G})\,\bm{D}_{\hat{Y}}\\ &=-\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}(\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{G}\bm{D}_{\hat{Y}} \end{aligned}\] 展开上式得 \[\left.\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{X}\hat{Y}}&=-\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{G}\bm{D}_{\hat{Y}}\\ \bm{D}_{\hat{X}^{\prime}\hat{Y}}&=-\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{G}\bm{D}_{\hat{Y}} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-37}\] 需要说明的是，在最小二乘配置中，按上面求得的方差、协方差，实际上是估值误差的方差和协方差。

当 \(\bm{D}_{X\Delta}\neq\bm{0}\)，\(\bm{D}_{X^{\prime}\Delta}\neq\bm{0}\) 时，根据广义最小二乘原理，按间接平差法由 (2-5-24) 式可得未知数方程 \[\begin{bmatrix}\bm{E}&\bm{0}\\ \bm{B}_{Z}&\bm{G}\end{bmatrix}^{T} \begin{bmatrix}\bm{D}_{Z}&-\bm{D}_{Z\Delta}\\ -\bm{D}_{\Delta Z}&\bm{D}_{\Delta}\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}\bm{V}_{Z}\\ \bm{V}\end{bmatrix}=\bm{0} \tag{2-5-38}\] 由矩阵求逆公式可写出 \[\left.\begin{aligned} \begin{bmatrix}\bm{D}_{Z}&-\bm{D}_{Z\Delta}\\ -\bm{D}_{\Delta Z}&\bm{D}_{\Delta}\end{bmatrix}^{-1} &=\begin{bmatrix}\bm{D}_{Z}^{-1}&\bm{0}\\ \bm{0}&\bm{0}\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}\bm{D}_{Z}^{-1}\bm{D}_{Z\Delta}\\ \bm{E}\end{bmatrix} \widetilde{\bm{D}}^{-1} \begin{bmatrix}\bm{D}_{\Delta Z}\bm{D}_{Z}^{-1}&\bm{E}\end{bmatrix}\\ \widetilde{\bm{D}}_{\Delta}&=\bm{D}_{\Delta}-\bm{D}_{\Delta Z}\bm{D}_{Z}^{-1}\bm{D}_{Z\Delta} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-39}\] 将误差方程 (2-5-24) 代入 (2-5-38) 式，并考虑上式的关系，可得法方程 \[\begin{bmatrix} \widetilde{\bm{B}}_{Z}^{T}\widetilde{\bm{D}}_{\Delta}^{-1}\widetilde{\bm{B}}_{Z}+\bm{D}_{Z}^{-1} & \widetilde{\bm{B}}_{Z}^{T}\widetilde{\bm{D}}_{\Delta}^{-1}\bm{G}\\ \bm{G}^{T}\widetilde{\bm{D}}_{\Delta}^{-1}\widetilde{\bm{B}}_{Z} & \bm{G}^{T}\widetilde{\bm{D}}_{\Delta}^{-1}\bm{G} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\hat{\bm{Z}}\\ \hat{\bm{Y}}\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \widetilde{\bm{B}}_{Z}^{T}\widetilde{\bm{D}}_{\Delta}^{-1}\overline{\bm{L}}+\bm{D}_{Z}^{-1}\bm{L}_{Z}\\ \bm{G}^{T}\widetilde{\bm{D}}_{\Delta}^{-1}\overline{\bm{L}} \end{bmatrix} =\bm{0} \tag{2-5-40}\] 式中 \[\left.\begin{aligned} \widetilde{\bm{B}}_{Z}&=\bm{B}_{Z}+\bm{D}_{\Delta Z}\bm{D}_{Z}^{-1}\\ \overline{\bm{L}}&=\bm{L}+\bm{D}_{\Delta Z}\bm{D}_{Z}^{-1}\bm{L}_{Z} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-41}\] (2-5-40) 式与 (2-5-25) 的形式相似，因此，可按类似的过程并考虑到 \[\left.\begin{aligned} \widetilde{\bm{B}}_{Z}\bm{D}_{Z}\widetilde{\bm{B}}_{Z}^{T}+\widetilde{\bm{D}}_{\Delta} &=\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{B}_{Z}\bm{D}_{Z\Delta}+\bm{D}_{\Delta Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{\Delta}\\ &=\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}\\ \overline{\bm{L}}-\bm{B}_{Z}\bm{L}_{Z}&=\bm{L}-\bm{B}_{Z}\bm{L}_{Z}=\bm{L}-\bm{B}\bm{L}_{X}\\ \bm{D}_{Z}\widetilde{\bm{B}}_{Z}^{T}=\bm{D}_{Z}\bm{B}_{Z}^{T}+\bm{D}_{Z\Delta} &=\begin{bmatrix}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X\Delta}\\ \bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X^{\prime}\Delta}\end{bmatrix} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-42}\] 就可得配置法求估值的公式为 \[\resizebox{\textwidth}{!}{$ \left.\begin{aligned} \hat{\bm{Y}}={}&\{\bm{G}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}\bm{G}\}^{-1}\bm{G}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}(\bm{L}-\bm{B}\bm{L}_{X})\\ \hat{\bm{X}}={}&\bm{L}_{X}+(\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X\Delta})\,(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}(\bm{L}-\bm{G}\hat{\bm{Y}}-\bm{B}\bm{L}_{X})\\ \hat{\bm{X}}^{\prime}={}&\bm{L}_{X^{\prime}}+(\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X^{\prime}\Delta})\,(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}_{X}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}(\bm{L}-\bm{G}\hat{\bm{Y}}-\bm{B}\bm{L}_{X}) \end{aligned}\right\}$} \tag{2-5-43}\] 求估值的方差（误差方差）公式为 \[\left.\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{Y}}={}&\{\bm{G}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}\bm{G}\}^{-1}\\ \bm{D}_{\hat{X}}={}&\bm{D}_{X}-(\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X\Delta})\,(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}\cdot\\ &\{\bm{E}-\bm{G}\bm{D}_{\hat{Y}}\bm{G}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}\}\cdot\\ &(\bm{D}_{\Delta X}+\bm{B}\bm{D}_{X})\\ \bm{D}_{\hat{X}^{\prime}}={}&\bm{D}_{X^{\prime}}-(\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X^{\prime}\Delta})\,(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}\cdot\\ &\{\bm{E}-\bm{G}\bm{D}_{\hat{Y}}\bm{G}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}\}\cdot\\ &(\bm{D}_{\Delta X^{\prime}}+\bm{B}\bm{D}_{XX^{\prime}}) \end{aligned}\right\} \tag{2-5-44}\] 当 \(\bm{D}_{X\Delta}=\bm{0}\)，\(\bm{D}_{X^{\prime}\Delta}=\bm{0}\) 时，公式 (2-5-43) 就是 (2-5-31)、(2-5-32)、(2-5-33) 式，公式 (2-5-44) 就是 (2-5-34)、(2-5-35)、(2-5-36) 式。

容易看到，也可以直接按最小二乘间接平差法，应用法方程 (2-5-25) 或 (2-5-40) 解出 \(\hat{\bm{Y}}\)、\(\hat{\bm{X}}\) 和 \(\hat{\bm{X}}^{\prime}\)，并用法方程系数阵的逆得到相应的方差阵。这种计算可称为配置的最小二乘算法。

特殊地，当函数模型中不存在倾向参数，即 \(\bm{G}=\bm{0}\)，此即最小二乘滤波和推估，公式为 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{X}}&=\bm{L}_{X}+(\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X\Delta})\,(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}(\bm{L}-\bm{B}\bm{L}_{X})\\ \hat{\bm{X}}^{\prime}&=\bm{L}_{X^{\prime}}+(\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X^{\prime}\Delta})\,(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}(\bm{L}-\bm{B}\bm{L}_{X}) \end{aligned}\right\} \tag{2-5-45}\] 及 \[\resizebox{\textwidth}{!}{$ \left.\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{X}}&=\bm{D}_{X}-(\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X\Delta})\,(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}(\bm{D}_{\Delta X}+\bm{B}\bm{D}_{X})\\ \bm{D}_{\hat{X}^{\prime}}&=\bm{D}_{X^{\prime}}-(\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X^{\prime}\Delta})\,(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}(\bm{D}_{\Delta X^{\prime}}+\bm{B}\bm{D}_{XX^{\prime}}) \end{aligned}\right\}$} \tag{2-5-46}\] 此即极大验后滤波、推估公式 (2-4-10)、(2-4-11) 和 (2-4-13)。

当 \(\bm{D}_{\Delta X}=\bm{0}\)，\(\bm{D}_{\Delta X^{\prime}}=\bm{0}\) 时，上两式为 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{X}}&=\bm{L}_{X}+\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}(\bm{L}-\bm{B}\bm{L}_{X})\\ \bm{D}_{\hat{X}}&=\bm{D}_{X}-\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{B}\bm{D}_{X} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-47}\] 及 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{X}}^{\prime}&=\bm{L}_{X^{\prime}}+\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}(\bm{L}-\bm{B}\bm{L}_{X})\\ \bm{D}_{\hat{X}^{\prime}}&=\bm{D}_{X^{\prime}}-\bm{D}_{X^{\prime}X}\bm{B}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{B}\bm{D}_{XX^{\prime}} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-48}\] 此即最小二乘滤波和推估公式 (2-5-20)、(2-5-21)，与极大验后滤波 (2-4-15)、推估 (2-4-16) 式相同。

例 2-5-1

设已知 \(P_{1}\)   \(P_{4}\) 四个观测点的重力异常观测值 \(\bm{L}\) 和它们的坐标 \(x_{i}\)、\(y_{i}\)（列于表 2-11），观测误差（噪声）的方差为 \(\bm{D}_{\Delta}=(0.03)^{2}\bm{E}\)，信号的方差 \(\bm{D}_{X}\)、\(\bm{D}_{X^{\prime}}\) 和协方差 \(\bm{D}_{X^{\prime}X}\) 按希尔沃年公式 \(D(s)=\dfrac{D(0)}{1+\dfrac{s^{2}}{d^{2}}}\)，取 \(D(0)=0.01\,\mathrm{mGal}\)，\(d=200\,\mathrm{m}\) 计算，试求 \(P_{1}\)   \(P_{4}\) 和未测点 \(P_{1}^{\prime}\) 和 \(P_{2}^{\prime}\) 的重力异常估值。 \[x_{0}=\frac{1}{4}\sum x=460,\qquad y_{0}=\frac{1}{4}\sum y=300\]

解(1) 根据已知坐标计算各点间的距离 \(s\)，如表 2-12。

(2) 按希尔沃年公式计算 \(\bm{D}_{X}\)、\(\bm{D}_{X^{\prime}}\) 和 \(\bm{D}_{X^{\prime}X}\)，为计算方便，将它们和 \(\bm{D}_{\Delta}\) 均乘以常数 100，得 \[\bm{D}_{X}=\begin{bmatrix} 1 & 0.464 & 0.099 & 0.306\\ 0.464 & 1 & 0.202 & 0.331\\ 0.099 & 0.202 & 1 & 0.147\\ 0.306 & 0.331 & 0.147 & 1 \end{bmatrix}\] \[\bm{D}_{\Delta}=\begin{bmatrix} 0.09 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0.09 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0.09 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0.09 \end{bmatrix}\] \[\bm{D}_{X^{\prime}}=\begin{bmatrix} 1 & 0.962\\ 0.962 & 1 \end{bmatrix}\] \[\bm{D}_{X^{\prime}X}=\begin{bmatrix} 0.435 & 0.745 & 0.205 & 0.581\\ 0.381 & 0.794 & 0.238 & 0.500 \end{bmatrix}\]

(3) 列观测方程 \[\bm{L}=\bm{G}\bm{Y}+\bm{X}+\bm{\Delta}\] 式中 \[\bm{Y}^{T}=\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}\] \[\bm{G}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1}-x_{0} & y_{1}-y_{0}\\ 1 & x_{2}-x_{0} & y_{2}-y_{0}\\ 1 & x_{3}-x_{0} & y_{3}-y_{0}\\ 1 & x_{4}-x_{0} & y_{4}-y_{0} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & +1.8 & +1.8\\ 1 & -0.2 & +1.0\\ 1 & -3.2 & -1.6\\ 1 & +1.6 & -1.2 \end{bmatrix}\]

(4) 列内插方程 \[\Delta g=\bm{G}_{p}\bm{Y}+\bm{X}^{\prime}\] 式中 \[\bm{G}_{p}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1}^{\prime}-x_{0} & y_{1}^{\prime}-y_{0}\\ 1 & x_{2}^{\prime}-x_{0} & y_{2}^{\prime}-y_{0} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & +0.4 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

(5) 计算 \((\bm{D}_{X}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\)，得 \[(\bm{D}_{X}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}=\begin{bmatrix} 1.1562 & -0.4338 & 0.0014 & -0.1930\\ -0.4338 & 1.1976 & -0.1572 & -0.2213\\ 0.0014 & -0.1572 & 0.9568 & -0.0831\\ -0.1930 & -0.2213 & -0.0831 & 1.0500 \end{bmatrix}\]

(6) 计算倾向参数的估值 \(\hat{\bm{Y}}\) 和它的方差 \(\bm{D}_{\hat{Y}}\)： \[\bm{G}^{T}(\bm{D}_{X}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{G}=\begin{bmatrix} 2.1956 & -0.5503 & -0.4740\\ -0.5503 & 16.2605 & 5.5396\\ -0.4740 & 5.5396 & 8.8698 \end{bmatrix}\] \[\hat{\bm{Y}}=\{\bm{G}^{T}(\bm{D}_{X}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{G}\}^{-1}\bm{G}^{T}(\bm{D}_{X}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{L} =\begin{bmatrix} -0.4767\\ -0.4909\\ 0.3815 \end{bmatrix}\] \[\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{Y}}&=\{\bm{G}^{T}(\bm{D}_{X}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\bm{G}\}^{-1}\\ &=\begin{bmatrix} 0.4618 & 0.0092 & 0.0189\\ 0.0092 & 0.0783 & -0.0484\\ 0.0189 & -0.0484 & 0.1440 \end{bmatrix} \end{aligned}\]

(7) 计算信号的估值 \(\hat{\bm{X}}\)、\(\hat{\bm{X}}^{\prime}\) 和它们的方差 \(\bm{D}_{\hat{X}}\)、\(\bm{D}_{\hat{X}^{\prime}}\)、协方差 \(\bm{D}_{\hat{X}\hat{Y}}\)、\(\bm{D}_{\hat{X}^{\prime}\hat{Y}}\)： \[\hat{\bm{X}}=\bm{D}_{X}(\bm{D}_{X}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}(\bm{L}-\bm{G}\hat{\bm{Y}}) =\begin{bmatrix} 0.1003\\ -0.2033\\ 0.0841\\ -0.0743 \end{bmatrix}\] \[\hat{\bm{X}}^{\prime}=\bm{D}_{X^{\prime}X}(\bm{D}_{X}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}(\bm{L}-\bm{G}\hat{\bm{Y}}) =\begin{bmatrix} -0.1425\\ -0.1630 \end{bmatrix}\] \[\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{X}}&=\bm{D}_{X}-\bm{D}_{X}(\bm{D}_{X}+\bm{D}_{\Delta})^{-1} \{\bm{E}-\bm{G}\bm{D}_{\hat{Y}}\bm{G}^{T}(\bm{D}_{X}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\}\,\bm{D}_{X}\\ &=\begin{bmatrix} 0.9208 & 0.6246 & 0.0326 & 0.3647\\ 0.6246 & 0.6745 & 0.3366 & 0.2120\\ 0.0326 & 0.3366 & 0.9443 & 0.1962\\ 0.3647 & 0.2120 & 0.1962 & 0.9565 \end{bmatrix} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{X}^{\prime}}&=\bm{D}_{X^{\prime}}-\bm{D}_{X^{\prime}X}(\bm{D}_{X}+\bm{D}_{\Delta})^{-1} \{\bm{E}-\bm{G}\bm{D}_{\hat{Y}}\bm{G}^{T}(\bm{D}_{X}+\bm{D}_{\Delta})^{-1}\}\,\bm{D}_{XX^{\prime}}\\ &=\begin{bmatrix} 0.8401 & 0.7791\\ 0.7791 & 0.7907 \end{bmatrix} \end{aligned}\] \[\bm{D}_{\hat{X}\hat{Y}}=\begin{bmatrix} -0.4857 & -0.0576 & -0.1738\\ -0.4619 & 0.0449 & -0.1561\\ -0.3774 & 0.1491 & -0.0510\\ -0.4323 & -0.1731 & -0.2031 \end{bmatrix}\] \[\bm{D}_{\hat{X}^{\prime}\hat{Y}}=\begin{bmatrix} -0.4653 & -0.0350 & -0.0252\\ -0.4483 & -0.0035 & -0.0473 \end{bmatrix}\]

(8) 计算 \(\Delta\hat{g}\)、\(\Delta\hat{g}^{\prime}\) 和它们的方差 \(\bm{D}_{\Delta\hat{g}}\)、\(\bm{D}_{\Delta\hat{g}^{\prime}}\)： \[\Delta\hat{g}=\bm{G}\hat{\bm{Y}}+\hat{\bm{X}} =\begin{pmatrix} -0.5734\\ -0.2003\\ 0.5679\\ -1.7942 \end{pmatrix}\] \[\Delta\hat{g}^{\prime}=\bm{G}_{p}\hat{\bm{Y}}+\hat{\bm{X}}^{\prime} =\begin{bmatrix} -0.8155\\ -0.6397 \end{bmatrix}\] \[\begin{aligned} \bm{D}_{\Delta\hat{g}}&=\begin{bmatrix}\bm{G}&\bm{E}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{D}_{\hat{Y}}&\bm{D}_{\hat{Y}\hat{X}}\\ \bm{D}_{\hat{X}\hat{Y}}&\bm{D}_{\hat{X}}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{G}^{T}\\ \bm{E}\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 0.0857 & 0.0055 & -0.0022 & 0.0011\\ 0.0055 & 0.0831 & 0.0028 & -0.0014\\ -0.0022 & 0.0028 & 0.0888 & 0.0006\\ 0.0011 & -0.0014 & 0.0006 & 0.0897 \end{bmatrix} \end{aligned}\] \[\bm{D}_{\Delta\hat{g}^{\prime}}=\begin{bmatrix}\bm{G}_{p}&\bm{E}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{D}_{\hat{Y}}&\bm{D}_{\hat{Y}\hat{X}^{\prime}}\\ \bm{D}_{\hat{X}^{\prime}\hat{Y}}&\bm{D}_{\hat{X}^{\prime}}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{G}_{p}^{T}\\ \bm{E}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0.3631 & 0.3295\\ 0.3295 & 0.3560 \end{bmatrix}\]

例 2-5-2

设已知 \[\bm{L}=\begin{bmatrix}0\\ 1\\ -3\end{bmatrix},\quad \bm{\mu}_{X}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix},\quad \bm{D}_{X}=\begin{bmatrix}2&0\\ 0&2\end{bmatrix},\] \[\bm{D}_{\Delta}=\begin{bmatrix}2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2\end{bmatrix},\quad \bm{D}_{X\Delta}=\begin{bmatrix}-1&1&0\\ 0&0&0\end{bmatrix}\] 观测方程为 \[\begin{bmatrix}L_{1}\\ L_{2}\\ L_{3}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1&-1\\ -1&0\\ 0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0\\ 1\\ -1\end{bmatrix}y +\begin{bmatrix}\Delta_{1}\\ \Delta_{2}\\ \Delta_{3}\end{bmatrix}\] 求信号 \(x_{1}\)、\(x_{2}\) 和倾向参数 \(y\) 的估值及其误差方差。

解(1) 按配置法的一般公式计算 \[\begin{aligned} (\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1} &=\begin{bmatrix}8&2&-2\\ 2&2&0\\ -2&0&4\end{bmatrix}^{-1}\\ &=\frac{1}{10}\begin{bmatrix}2&-2&1\\ -2&7&-1\\ 1&-1&3\end{bmatrix} \end{aligned}\] \[\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X\Delta}=\begin{bmatrix}-3&-1&0\\ -2&0&2\end{bmatrix}\] \[\resizebox{\textwidth}{!}{$ \begin{aligned} \hat{y}={}&\{\bm{G}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}\bm{G}\}^{-1}\bm{G}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}(\bm{L}-\bm{B}\bm{L}_{X})\\ ={}&\left\{\begin{bmatrix}0&1&-1\end{bmatrix}\cdot\frac{1}{10} \begin{bmatrix}2&-2&1\\ -2&7&-1\\ 1&-1&3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\ 1\\ -1\end{bmatrix}\right\}^{-1} \begin{bmatrix}0&1&-1\end{bmatrix}\cdot \frac{1}{10}\begin{bmatrix}2&-2&1\\ -2&7&-1\\ 1&-1&3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\ 1\\ -3\end{bmatrix}\\ ={}&\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{10}\begin{bmatrix}-3&8&-4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\ 1\\ -3\end{bmatrix} =\frac{5}{3} \end{aligned}$}\] \[\begin{aligned} \hat{\bm{X}}&=\bm{L}_{X}+(\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X\Delta})\,(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}(\bm{L}-\bm{G}\hat{y}-\bm{B}\bm{L}_{X})\\ &=\begin{bmatrix}-3&-1&0\\ -2&0&2\end{bmatrix}\cdot\frac{1}{10} \begin{bmatrix}2&-2&1\\ -2&7&-1\\ 1&-1&3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\ -2\\ -4\end{bmatrix}\cdot\frac{1}{3} =\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix} \end{aligned}\] \[\bm{D}_{\hat{y}}=\{\bm{G}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}\bm{G}\}^{-1} =\frac{5}{6}\] \[\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{X}}={}&\bm{D}_{X}-(\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{X\Delta})\,(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}\{\bm{E}-{}\\ &\bm{G}\bm{D}_{\hat{y}}\bm{G}^{T}(\bm{B}\bm{D}_{X}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta}+\bm{B}\bm{D}_{X\Delta}+\bm{D}_{\Delta X}\bm{B}^{T})^{-1}\}\,(\bm{D}_{\Delta X}+\bm{B}\bm{D}_{X})\\ ={}&\frac{1}{24}\begin{bmatrix}17&-10\\ -10&20\end{bmatrix} \end{aligned}\]

(2) 按间接平差解

误差方程为 \[\begin{bmatrix}v_{x_{1}}\\ v_{x_{2}}\\ v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\\ -1&-1\\ -1&0\\ 0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\hat{x}_{1}\\ \hat{x}_{2}\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ -1\end{bmatrix}y -\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ -3\end{bmatrix}\] \[\overline{\bm{D}}=\begin{bmatrix}\bm{D}_{X}&-\bm{D}_{X\Delta}\\ -\bm{D}_{\Delta X}&\bm{D}_{\Delta}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\] \[\overline{\bm{D}}^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -0.5 & 0.5 & 0\\ 0 & 0.5 & 0 & 0 & 0\\ -0.5 & 0 & 0.75 & -0.25 & 0\\ -0.5 & 0 & 0.25 & 0.75 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0.5 \end{bmatrix}\] 法方程为 \[\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 1.75 & -0.25\\ 0 & -0.25 & 1.25 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\hat{x}_{1}\\ \hat{x}_{2}\\ \hat{y}\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}0\\ -1.25\\ 2.25\end{bmatrix} =\bm{0}\] \[\begin{bmatrix}\hat{x}_{1}\\ \hat{x}_{2}\\ \hat{Y}\end{bmatrix} =\frac{1}{24}\begin{bmatrix} 17 & -10 & -2\\ -10 & 20 & 4\\ -2 & 4 & 20 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\ -1.25\\ 2.25\end{bmatrix} =\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\ -2\\ 5\end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} \bm{D}_{\hat{x}_{1}} & \bm{D}_{\hat{x}_{1}\hat{x}_{2}} & \bm{D}_{\hat{x}_{1}\hat{y}}\\ \bm{D}_{\hat{x}_{2}\hat{x}_{1}} & \bm{D}_{\hat{x}_{2}} & \bm{D}_{\hat{x}_{2}\hat{y}}\\ \bm{D}_{\hat{y}\hat{x}_{1}} & \bm{D}_{\hat{y}\hat{x}_{2}} & \bm{D}_{\hat{y}} \end{bmatrix} =\frac{1}{24}\begin{bmatrix} 17 & -10 & -2\\ -10 & 20 & 4\\ -2 & 4 & 20 \end{bmatrix}\]

最小二乘配置的验后单位权方差

配置问题的先验单位权方差假定为 \(\sigma_{0}^{2}=1\)，所以噪声的协因数 \(\bm{Q}_{\Delta}\) 就等于其方差 \(\bm{D}_{\Delta}\)，信号 \(\bm{X}\) 的先验协因数 \(\bm{Q}_{X}\) 也就等于 \(\bm{D}_{X}\)。平差后通过 \(\bm{L}\) 的改正数 \(\bm{V}\) 和虚拟观测值 \(\bm{L}_{X}\) 的改正数 \(\bm{V}_{X}\) 可对单位权方差 \(\sigma_{0}^{2}\) 作出验后估计 \(\hat{\sigma}_{0}^{2}\)，推导公式时只考虑 \(\bm{D}_{X\Delta}=\bm{0}\) 的情况。

已知误差方程为 \[\left.\begin{aligned} \bm{V}&=\bm{B}\hat{\bm{X}}+\bm{G}\hat{\bm{Y}}-\bm{L}\\ \bm{V}_{X}&=\hat{\bm{X}}-\bm{L}_{X} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-49}\] 相应的观测方程为 \[\left.\begin{aligned} \bm{L}&=\bm{B}\bm{X}+\bm{G}\bm{Y}+\bm{\Delta}\\ \bm{L}_{X}&=\bm{X}+\bm{\Delta}_{X} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-50}\] 于是有 \[\left.\begin{aligned} \bm{\Delta}&=-\bm{V}-\bm{B}\Delta\hat{\bm{X}}-\bm{G}\Delta\hat{\bm{Y}}\\ \bm{\Delta}_{X}&=-\bm{V}_{X}-\Delta\hat{\bm{X}} \end{aligned}\right\} \tag{2-5-51}\] 式中 \(\Delta\hat{\bm{X}}=\bm{X}-\hat{\bm{X}}\)，\(\Delta\hat{\bm{Y}}=\bm{Y}-\hat{\bm{Y}}\)，由上式得 \[\begin{aligned} \bm{\Delta}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{\Delta}+\bm{\Delta}_{X}^{T}\bm{P}_{X}\bm{\Delta}_{X} ={}&\bm{V}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{V}+\bm{V}_{X}^{T}\bm{P}_{X}\bm{V}_{X} +2\Delta\hat{\bm{X}}^{T}(\bm{B}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{V}+\bm{P}_{X}\bm{V}_{X})+{}\\ &2\Delta\hat{\bm{Y}}^{T}\bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{V} +\begin{bmatrix}\Delta\hat{\bm{X}}\\ \Delta\hat{\bm{Y}}\end{bmatrix}^{T} \begin{bmatrix} \bm{B}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}+\bm{P}_{X} & \bm{B}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G}\\ \bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B} & \bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\Delta\hat{\bm{X}}\\ \Delta\hat{\bm{Y}}\end{bmatrix} \end{aligned}\] 因上式中 \(\bm{B}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{V}+\bm{P}_{X}\bm{V}_{X}=\bm{0}\)，\(\bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{V}=\bm{0}\)，故可按照矩阵迹的运算规律得 \[\begin{aligned} &\operatorname{tr}(\bm{\Delta}\bm{\Delta}^{T}\bm{P}_{\Delta})+\operatorname{tr}(\bm{\Delta}_{X}\bm{\Delta}_{X}^{T}\bm{P}_{X}) =\bm{V}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{V}+\bm{V}_{X}^{T}\bm{P}_{X}\bm{V}_{X}+{}\\ &\qquad\operatorname{tr}\left\{ \begin{bmatrix}\Delta\hat{\bm{X}}\\ \Delta\hat{\bm{Y}}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\Delta\hat{\bm{X}}\\ \Delta\hat{\bm{Y}}\end{bmatrix}^{T} \begin{bmatrix} \bm{B}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}+\bm{P}_{X} & \bm{B}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G}\\ \bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B} & \bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G} \end{bmatrix}\right\} \end{aligned}\] 因为 \[\begin{gathered} \bm{P}_{\Delta}=\bm{D}_{\Delta}^{-1}\sigma_{0}^{2},\quad \bm{P}_{X}=\bm{D}_{X}^{-1}\sigma_{0}^{2}\\ \begin{bmatrix} \bm{B}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B}+\bm{P}_{X} & \bm{B}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G}\\ \bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{B} & \bm{G}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{G} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \bm{D}_{\hat{X}\hat{X}} & \bm{D}_{\hat{X}\hat{Y}}\\ \bm{D}_{\hat{Y}\hat{X}} & \bm{D}_{\hat{Y}\hat{Y}} \end{bmatrix}^{-1}\sigma_{0}^{2}\\ E(\bm{\Delta}\bm{\Delta}^{T})=\bm{D}_{\Delta},\quad E(\bm{\Delta}_{X}\bm{\Delta}_{X}^{T})=\bm{D}_{X}\\ E\left\{\begin{bmatrix}\Delta\hat{\bm{X}}\\ \Delta\hat{\bm{Y}}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\Delta\hat{\bm{X}}\\ \Delta\hat{\bm{Y}}\end{bmatrix}^{T}\right\} =\begin{bmatrix} \bm{D}_{\hat{X}\hat{X}} & \bm{D}_{\hat{X}\hat{Y}}\\ \bm{D}_{\hat{Y}\hat{X}} & \bm{D}_{\hat{Y}\hat{Y}} \end{bmatrix} \end{gathered}\] 所以对上式取数学期望之后可得 \[n\sigma_{0}^{2}+t_{1}\sigma_{0}^{2} =E(\bm{V}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{V})+E(\bm{V}_{X}^{T}\bm{P}_{X}\bm{V}_{X})+(t_{1}+t_{y})\,\sigma_{0}^{2}\] 或 \[E(\bm{V}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{V}+\bm{V}_{X}^{T}\bm{P}_{X}\bm{V}_{X})=(n-t_{y})\,\sigma_{0}^{2}\] 于是单位权方差估值 \[\hat{\sigma}_{0}^{2}=\frac{\bm{V}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{V}+\bm{V}_{X}^{T}\bm{P}_{X}\bm{V}_{X}}{n-t_{y}} \tag{2-5-52}\] 为 \(\sigma_{0}^{2}\) 的无偏估计。式中 \(t_{1}\) 和 \(t_{y}\) 分别为信号 \(\bm{X}\) 和倾向参数 \(\bm{Y}\) 的个数。

由此也可得到滤波问题的单位权方差估值为 \[\hat{\sigma}_{0}^{2}=\frac{\bm{V}^{T}\bm{P}_{\Delta}\bm{V}+\bm{V}_{X}^{T}\bm{P}_{X}\bm{V}_{X}}{n} \tag{2-5-53}\] 验后单位权方差的计算，可以用来检验先验方差 \(\bm{D}_{\Delta}\) 和 \(\bm{D}_{X}\) 及其配比是否恰当，如果 \(E(\hat{\sigma}_{0}^{2})\neq\sigma_{0}^{2}=1\)，则要追查原因，否则平差模型认为是不合理的。

静态逐次滤波

在静态滤波与配置问题中，当观测值的个数 \(n\) 很大时，为了解决高阶矩阵求逆的困难和电子计算机容量不够的问题，可以将观测向量分成若干部分，逐次进行计算，称之为静态逐次滤波与逐次配置。本节也应用广义最小二乘原理来讨论。

静态逐次滤波的最小二乘算法

设将观测向量 \(\bm{L}\) 分成 \(v\) 部分，观测方程为 \[\left.\begin{aligned} \bm{L}_{1}&=\bm{B}_{1}\bm{X}+\bm{\Delta}_{1}\\ \bm{L}_{2}&=\bm{B}_{2}\bm{X}+\bm{\Delta}_{2}\\ &\cdots\\ \bm{L}_{v}&=\bm{B}_{v}\bm{X}+\bm{\Delta}_{v} \end{aligned}\right\} \tag{2-6-1}\] 其随机模型是： \[\left.\begin{aligned} &\text{信号 $\bm{X}$ 的先验期望和先验方差}\\ &\qquad E(\bm{X})=\hat{\bm{X}}_{0},\ \operatorname{var}(\bm{X})=\bm{D}_{0}\\ &\text{$\bm{\Delta}_{i}$ 的数学期望和方差阵}\\ &\qquad E(\bm{\Delta}_{i})=\bm{0},\ \operatorname{var}(\bm{\Delta}_{i})=\bm{D}_{\Delta_{i}}\,(i=1,2,\cdots,v)\\ &\text{且假定 $\bm{X}$ 关于 $\bm{\Delta}_{i}$ 的协方差为}\\ &\qquad\operatorname{cov}(\bm{X},\bm{\Delta}_{i})=\bm{0}\qquad(i=1,2,\cdots,v)\\ &\text{$\bm{\Delta}_{i}$ 关于 $\bm{\Delta}_{j}$ 的协方差也为}\quad \operatorname{cov}(\bm{\Delta}_{i},\bm{\Delta}_{j})=\bm{0}\,(i\neq j) \end{aligned}\right\} \tag{2-6-2}\] 对于方差为 \(\bm{D}_{\Delta_{k}}\)，协方差为零的观测噪声序列 \(\bm{\Delta}_{1},\bm{\Delta}_{2},\cdots,\bm{\Delta}_{v}\)，可以记为 \[\operatorname{cov}(\bm{\Delta}_{k},\bm{\Delta}_{j})=\bm{D}_{\Delta_{k}}\delta_{kj} \tag{2-6-3}\] 其中 \(\delta_{kj}\) 为克罗内克符号，并称它们为白噪声。

根据广义最小二乘原理，对上述模型进行滤波，可以将信号 \(\bm{X}\) 的先验期望 \(\hat{\bm{X}}_{0}\) 看做虚拟观测值，其方差为 \(\bm{D}_{\hat{x}_{0}}\)，而将 \(\bm{X}\) 看成非随机量，然后按间接平差法进行平差。此时应有误差方程 \[\left.\begin{aligned} \bm{V}_{X_{0}}&=\hat{\bm{X}}-\hat{\bm{X}}_{0}\\ \bm{V}_{1}&=\bm{B}_{1}\hat{\bm{X}}-\bm{L}_{1}\\ \bm{V}_{2}&=\bm{B}_{2}\hat{\bm{X}}-\bm{L}_{2}\\ &\cdots\\ \bm{V}_{v}&=\bm{B}_{v}\hat{\bm{X}}-\bm{L}_{v} \end{aligned}\right\} \tag{2-6-4}\] 不难看出，对 (2-6-1) 式进行静态逐次滤波，也就是对 (2-6-4) 式进行逐次间接平差，即首先由 (2-6-4) 的第一、二式进行第一次平差，求得 \(\hat{\bm{X}}_{1}\) 及其误差方差 \(\bm{D}_{1}\)；然后再逐次进行第二次、第三次……第 \(v\) 次平差，求得各次估值和它们的误差方差。

白噪声情况下的逐次滤波和推估

对模型 (2-6-4) 按逐次间接平差进行逐次滤波时，第一次平差所得到的 \(\hat{\bm{X}}_{1}\) 和 \(\bm{D}_{1}\) 为 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{X}}_{1}&=(\bm{B}_{1}^{T}\bm{D}_{\Delta_{1}}^{-1}\bm{B}_{1}+\bm{D}_{0}^{-1})^{-1} (\bm{B}_{1}^{T}\bm{D}_{\Delta_{1}}^{-1}\bm{L}_{1}+\bm{D}_{0}^{-1}\hat{\bm{X}}_{0})\\ \bm{D}_{1}&=(\bm{B}_{1}^{T}\bm{D}_{\Delta_{1}}^{-1}\bm{B}_{1}+\bm{D}_{0}^{-1})^{-1} \end{aligned}\right\} \tag{2-6-5}\] 应用矩阵反演公式，并按类似于 2-5 节的推导过程，由 (2-5-47) 式得 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{X}}_{1}&=\hat{\bm{X}}_{0}+\bm{D}_{0}\bm{B}_{1}^{T}(\bm{B}_{1}\bm{D}_{0}\bm{B}_{1}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{1}})^{-1}(\bm{L}_{1}-\bm{B}_{1}\hat{\bm{X}}_{0})\\ \bm{D}_{1}&=\bm{D}_{0}-\bm{D}_{0}\bm{B}_{1}^{T}(\bm{B}_{1}\bm{D}_{0}\bm{B}_{1}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{1}})^{-1}\bm{B}_{1}\bm{D}_{0} \end{aligned}\right\} \tag{2-6-6}\] 在第 \(k-1\) 次平差求得 \(\hat{\bm{X}}_{k-1}\) 和 \(\bm{D}_{k-1}\) 之后，由第 \(k\) 次平差可得 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{X}}_{k}&=(\bm{B}_{k}^{T}\bm{D}_{\Delta_{k}}^{-1}\bm{B}_{k}+\bm{D}_{k-1}^{-1})^{-1} (\bm{B}_{k}^{T}\bm{D}_{\Delta_{k}}^{-1}\bm{L}_{k}+\bm{D}_{k-1}^{-1}\hat{\bm{X}}_{k-1})\\ \bm{D}_{k}&=(\bm{B}_{k}^{T}\bm{D}_{\Delta_{k}}^{-1}\bm{B}_{k}+\bm{D}_{k-1}^{-1})^{-1} \end{aligned}\right\} \tag{2-6-7}\] 同样可得到 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{X}}_{k}&=\hat{\bm{X}}_{k-1}+\bm{D}_{k-1}\bm{B}_{k}^{T}(\bm{B}_{k}\bm{D}_{k-1}\bm{B}_{k}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{k}})^{-1}(\bm{L}_{k}-\bm{B}_{k}\hat{\bm{X}}_{k-1})\\ \bm{D}_{k}&=\bm{D}_{k-1}-\bm{D}_{k-1}\bm{B}_{k}^{T}(\bm{B}_{k}\bm{D}_{k-1}\bm{B}_{k}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{k}})^{-1}\bm{B}_{k}\bm{D}_{k-1} \end{aligned}\right\} \tag{2-6-8}\] (2-6-8) 式就是白噪声情况下的静态逐次滤波递推公式。

如果还有推估信号 \(\bm{X}^{\prime}\)，设其先验期望和先验方差为 \[E(\bm{X}^{\prime})=\hat{\bm{X}}_{0}^{\prime},\quad \operatorname{var}(\bm{X}^{\prime})=\bm{D}_{0}^{\prime} \tag{2-6-9}\] \(\bm{X}^{\prime}\) 关于 \(\bm{X}\) 和 \(\bm{\Delta}_{i}\) 的协方差为 \[\left.\begin{aligned} \operatorname{cov}(\bm{X}^{\prime},\bm{X})&=\bm{C}_{0}\\ \operatorname{cov}(\bm{X}^{\prime},\bm{\Delta}_{i})&=\bm{0}\quad(i=1,2,\cdots,v) \end{aligned}\right\} \tag{2-6-10}\] 将第 \(k\) 次观测值 \(\bm{L}_{k}\) 的观测方程写为 \[\bm{L}_{k}=\begin{bmatrix}\bm{B}_{k}&\bm{0}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{X}_{k}\\ \bm{X}_{k}^{\prime}\end{bmatrix}+\bm{\Delta}_{k} \tag{2-6-11}\] 则按 (2-6-8) 式可得 \[\begin{aligned} \begin{bmatrix}\hat{\bm{X}}_{k}\\ \hat{\bm{X}}_{k}^{\prime}\end{bmatrix} ={}&\begin{bmatrix}\hat{\bm{X}}_{k-1}\\ \hat{\bm{X}}_{k-1}^{\prime}\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}\bm{D}_{k-1}&\bm{C}_{k-1}^{T}\\ \bm{C}_{k-1}&\bm{D}_{k-1}^{\prime}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{B}_{k}^{T}\\ \bm{0}\end{bmatrix}\cdot\\ &\left\{\begin{bmatrix}\bm{B}_{k}&\bm{0}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{D}_{k-1}&\bm{C}_{k-1}^{T}\\ \bm{C}_{k-1}&\bm{D}_{k-1}^{\prime}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{B}_{k}^{T}\\ \bm{0}\end{bmatrix}+\bm{D}_{\Delta_{k}}\right\}^{-1} (\bm{L}_{k}-\bm{B}_{k}\hat{\bm{X}}_{k-1}) \end{aligned}\] 式中 \(\bm{D}_{k-1}^{\prime}\) 是 \(\bm{X}\) 的第 \(k-1\) 次估值 \(\hat{\bm{X}}_{k-1}\) 的误差方差，而 \(\bm{C}_{k-1}\) 是 \(\hat{\bm{X}}_{k-1}^{\prime}\) 与 \(\hat{\bm{X}}_{k}\) 的误差的协方差。将上式展开可得 \[\hat{\bm{X}}_{k}^{\prime}=\hat{\bm{X}}_{k-1}^{\prime} +\bm{C}_{k-1}\bm{B}_{k}^{T}(\bm{B}_{k}\bm{D}_{k-1}\bm{B}_{k}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{k}})^{-1} (\bm{L}_{k}-\bm{B}_{k}\hat{\bm{X}}_{k-1}) \tag{2-6-12}\] 根据 (2-6-8) 式还可得 \[\begin{aligned} \begin{bmatrix}\bm{D}_{k}&\bm{C}_{k}^{T}\\ \bm{C}_{k}&\bm{D}_{k}^{\prime}\end{bmatrix} ={}&\begin{bmatrix}\bm{D}_{k-1}&\bm{C}_{k-1}^{T}\\ \bm{C}_{k-1}&\bm{D}_{k-1}^{\prime}\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}\bm{D}_{k-1}&\bm{B}_{k}^{T}\\ \bm{C}_{k-1}&\bm{B}_{k}^{T}\end{bmatrix} (\bm{B}_{k}\bm{D}_{k-1}\bm{B}_{k}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{k}})^{-1}\cdot\\ &\begin{bmatrix}\bm{B}_{k}\bm{D}_{k-1}&\bm{B}_{k}\bm{C}_{k-1}^{T}\end{bmatrix} \end{aligned}\] 所以 \[\bm{D}_{k}^{\prime}=\bm{D}_{k-1}^{\prime} -\bm{C}_{k-1}\bm{B}_{k}^{T}(\bm{B}_{k}\bm{D}_{k-1}\bm{B}_{k}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{k}})^{-1}\bm{B}_{k}\bm{C}_{k-1}^{T} \tag{2-6-13}\] 且有 \[\bm{C}_{k}=\bm{C}_{k-1} -\bm{C}_{k-1}\bm{B}_{k}^{T}(\bm{B}_{k}\bm{D}_{k-1}\bm{B}_{k}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{k}})^{-1}\bm{B}_{k}\bm{D}_{k-1} \tag{2-6-14}\] 可将上式写为 \[\bm{C}_{k}=\bm{C}_{k-1}+\bm{C}_{k-1}\bm{D}_{k-1}^{-1}(\bm{D}_{k}-\bm{D}_{k-1})\] 于是得 \[\bm{C}_{k}=\bm{C}_{k-1}\bm{D}_{k-1}^{-1}\bm{D}_{k} \tag{2-6-15}\] 由上式不难得到 \[\bm{C}_{k}=\bm{C}_{0}\bm{D}_{0}^{-1}\bm{D}_{k} \tag{2-6-16}\] (2-6-15) 式和 (2-6-16) 式就是白噪声情况下的逐次推估公式。

有色噪声情况下的逐次滤波

如果观测噪声 \(\bm{\Delta}_{k}\) 与 \(\bm{\Delta}_{j}\) 的协方差为 \[\operatorname{cov}(\bm{\Delta}_{i},\bm{\Delta}_{j})\neq\bm{0}\quad(i\neq j)\] 则称 \(\bm{\Delta}_{1},\bm{\Delta}_{2},\cdots,\bm{\Delta}_{v}\) 为有色噪声序列。这里仅讨论一种特殊情况，即假定 \(\bm{\Delta}_{k}\) 与 \(\bm{\Delta}_{k-1}\) 之间有线性关系

\[\bm{\Delta}_{k}=\bm{H}_{k-1}\bm{\Delta}_{k-1}+\bm{\zeta}_{k-1} \tag{2-6-17}\] 其中 \(\bm{\zeta}_{1},\bm{\zeta}_{2},\cdots,\bm{\zeta}_{v}\) 为白噪声序列，即有 \[\operatorname{cov}(\bm{\zeta}_{k},\bm{\zeta}_{j})=\bm{D}_{\zeta_{k}}\delta_{kj}\] 且设 \[\begin{gathered} E(\bm{\zeta}_{k})=\bm{0}\\ \operatorname{cov}(\bm{\zeta}_{k},\bm{\Delta}_{j})=\bm{0} \end{gathered}\] 通常称这种观测噪声为白噪声所驱动的有色噪声。此时，可由 (2-6-17) 式按协方差传播律写出 \[\left.\begin{aligned} \bm{D}_{\Delta_{k}}&=\bm{H}_{k-1}\bm{D}_{\Delta_{k-1}}\bm{H}_{k-1}^{T}+\bm{D}_{\zeta_{k-1}}\\ D(\bm{\Delta}_{k},\bm{\Delta}_{k-1})&=\bm{H}_{k-1}\bm{D}_{\Delta_{k-1}} \end{aligned}\right\} \tag{2-6-18}\] 于是有 \[\left.\begin{aligned} \bm{H}_{k-1}&=D(\bm{\Delta}_{k},\bm{\Delta}_{k-1})\,\bm{D}_{\Delta_{k-1}}^{-1}\\ \bm{D}_{\zeta_{k-1}}&=\bm{D}_{\Delta_{k}}-D(\bm{\Delta}_{k},\bm{\Delta}_{k-1})\,\bm{D}_{\Delta_{k-1}}^{-1}D(\bm{\Delta}_{k-1},\bm{\Delta}_{k}) \end{aligned}\right\} \tag{2-6-19}\] 由于观测噪声 \(\bm{\Delta}_{k}\) 与信号都是随机向量，所以也可以将 \(\bm{\Delta}_{k}\) 看做信号，且可将观测方程 (2-6-1) 写为 \[\overline{\bm{L}}_{k-1}=\begin{bmatrix}\overline{\bm{B}}_{k-1}&\bm{E}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{X}\\ \hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1}\end{bmatrix} \tag{2-6-20}\] 式中 \[\overline{\bm{L}}_{k-1}=\begin{bmatrix}\bm{L}_{1}\\ \bm{L}_{2}\\ \vdots\\ \bm{L}_{k-1}\end{bmatrix},\qquad \overline{\bm{B}}_{k-1}=\begin{bmatrix}\bm{B}_{1}\\ \bm{B}_{2}\\ \vdots\\ \bm{B}_{k-1}\end{bmatrix},\qquad \overline{\bm{\Delta}}_{k-1}=\begin{bmatrix}\bm{\Delta}_{1}\\ \bm{\Delta}_{2}\\ \vdots\\ \bm{\Delta}_{k-1}\end{bmatrix}\] 且有 \[\bm{L}_{k}=\begin{bmatrix}\bm{B}_{k}&\overline{\bm{H}}_{k-1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{X}\\ \bm{\Delta}_{k-1}\end{bmatrix}+\bm{\zeta}_{k-1} \tag{2-6-21}\] 其中 \[\overline{\bm{H}}_{k-1}=\begin{bmatrix}\bm{0}&\bm{0}&\cdots&\bm{H}_{k-1}\end{bmatrix}\] 根据滤波公式，由 (2-6-21) 可得到 \(\bm{X}\) 和 \(\overline{\bm{\Delta}}_{k-1}\) 的第 \(k-1\) 次估值及其误差方差阵 \[\begin{aligned} \begin{bmatrix}\hat{\bm{X}}_{k-1}\\ \hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1}\end{bmatrix} ={}&\begin{bmatrix}\hat{\bm{X}}_{0}\\ \bm{0}\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}\bm{D}_{0}&\bm{0}\\ \bm{0}&\bm{D}_{\bar{\Delta}_{k-1}}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}\\ \bm{E}\end{bmatrix}\cdot\\ &(\overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{0}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}+\bm{D}_{\bar{\Delta}_{k-1}})^{-1} (\overline{\bm{L}}_{k-1}-\overline{\bm{B}}_{k-1}\hat{\bm{X}}_{0}) \end{aligned} \tag{2-6-22}\] \[\begin{aligned} \operatorname{var}\begin{bmatrix}\hat{\bm{X}}_{k-1}\\ \hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1}\end{bmatrix} ={}&\begin{bmatrix} \bm{D}_{\hat{X}_{k-1}} & \operatorname{cov}(\hat{\bm{X}}_{k-1},\hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1})\\ \operatorname{cov}(\hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1},\hat{\bm{X}}_{k-1}) & \operatorname{var}\hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\bm{D}_{0}&\bm{0}\\ \bm{0}&\bm{D}_{\bar{\Delta}_{k-1}}\end{bmatrix}-{}\\ &\begin{bmatrix}\bm{D}_{0}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}\\ \bm{D}_{\bar{\Delta}_{k-1}}\end{bmatrix} (\overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{0}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}+\bm{D}_{\bar{\Delta}_{k-1}})^{-1} \begin{bmatrix}\overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{0}&\bm{D}_{\bar{\Delta}_{k-1}}\end{bmatrix} \end{aligned} \tag{2-6-23}\] 展开 (2-6-23) 式得 \[\begin{aligned} \hat{\bm{X}}_{k-1}={}&\hat{\bm{X}}_{0}+\bm{D}_{0}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}\,(\overline{\bm{B}}_{1-k}\bm{D}_{0}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}+{}\\ &\bm{D}_{\bar{\Delta}_{k-1}})^{-1}\,(\overline{\bm{L}}_{k-1}-\overline{\bm{B}}_{k-1}\hat{\bm{X}}_{0}) \end{aligned} \tag{2-6-24}\] \[\resizebox{\textwidth}{!}{$ \begin{aligned} \hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1}&=\bm{D}_{\bar{\Delta}_{k-1}}\left(\overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{0}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}+\bm{D}_{\bar{\Delta}_{k-1}}\right)^{-1} \left(\overline{\bm{L}}_{k-1}-\overline{\bm{B}}_{k-1}\hat{\bm{X}}_{0}\right)\\ &=\left\{(\bm{D}_{\bar{\Delta}_{k-1}}+\overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{0}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}) -\overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{0}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}\right\} \left(\overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{0}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}+\bm{D}_{\bar{\Delta}_{k-1}}\right)^{-1} \left(\overline{\bm{L}}_{k-1}-\overline{\bm{B}}_{k-1}\hat{\bm{X}}_{0}\right)\\ &=\left(\overline{\bm{L}}_{k-1}-\overline{\bm{B}}_{k-1}\hat{\bm{X}}_{0}\right) -\overline{\bm{B}}_{k-1}\left(\hat{\bm{X}}_{k-1}-\hat{\bm{X}}_{0}\right)\\ &=\overline{\bm{L}}_{k-1}-\overline{\bm{B}}_{k-1}\hat{\bm{X}}_{k-1} \end{aligned}$} \tag{2-6-25}\] 展开 (2-6-24) 式得 \[\left.\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{X}_{k-1}}&=\bm{D}_{\hat{X}_{0}}-\bm{D}_{\hat{X}_{0}}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T} (\overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{\hat{X}_{0}}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}+\bm{D}_{\bar{\Delta}_{k-1}})^{-1}\overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{\hat{X}_{0}}\\ &=(\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}\bm{D}_{\bar{\Delta}_{k-1}}^{-1}\overline{\bm{B}}_{k-1}+\bm{D}_{\hat{X}_{1}}^{-1})^{-1}\\ \operatorname{var}(\hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1})&=\overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{\hat{X}_{k-1}}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}\\ \operatorname{cov}(\hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1},\hat{\bm{X}}_{k-1})&=-\overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{\hat{X}_{k-1}} \end{aligned}\right\} \tag{2-6-26}\] 由观测方程 (2-6-22) 按逐次滤波方程 (2-6-9) 得 \[\begin{aligned} \begin{bmatrix}\hat{\bm{X}}_{k}\\ \hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1,k}\end{bmatrix} ={}&\begin{bmatrix}\hat{\bm{X}}_{k-1}\\ \hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1}\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} \bm{D}_{k-1} & -\bm{D}_{k-1}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}\\ -\overline{\bm{B}}\bm{D}_{k-1} & \overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{\hat{X}_{k-1}}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T} \end{bmatrix}\cdot\\ &\begin{bmatrix}\bm{B}_{k}^{T}\\ \overline{\bm{H}}_{k-1}^{T}\end{bmatrix} \overline{\bm{D}}_{k}^{-1}\,(\bm{L}_{k}-\bm{B}_{k}\hat{\bm{X}}_{k-1}-\overline{\bm{H}}_{k-1}\hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1}) \end{aligned} \tag{2-6-27}\] 式中 \[\begin{aligned} \overline{\bm{D}}_{k}&=\begin{bmatrix}\bm{B}_{k}&\overline{\bm{H}}_{k-1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bm{D}_{k-1} & -\bm{D}_{k-1}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}\\ -\overline{\bm{B}}_{k-1}\overline{\bm{D}}_{k-1} & \overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{k-1}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\overline{\bm{B}}_{k}\\ \bm{H}_{k-1}^{T}\end{bmatrix}+\bm{D}_{\zeta_{k-1}}\\ &=(\bm{B}_{k}-\bm{H}_{k-1}\bm{B}_{k-1})\,\bm{D}_{k-1}\,(\bm{B}_{k}-\overline{\bm{H}}_{k-1}\overline{\bm{B}}_{k-1})^{T}+\bm{D}_{\zeta_{k-1}} \end{aligned} \tag{2-6-28}\] 再记 \[\widetilde{\bm{B}}_{k}=\bm{B}_{k}-\overline{\bm{H}}_{k-1}\overline{\bm{B}}_{k-1}=\bm{B}_{k}-\bm{H}_{k-1}\bm{B}_{k-1} \tag{2-6-29}\] 于是 \[\overline{\bm{D}}_{k}=\widetilde{\bm{B}}_{k}\bm{D}_{k-1}\widetilde{\bm{B}}_{k}^{T}+\bm{D}_{\zeta_{k-1}} \tag{2-6-30}\] 将 (2-6-28) 式展开并顾及 (2-6-26) 式得 \[\begin{aligned} \hat{\bm{X}}_{k}={}&\hat{\bm{X}}_{k-1} +\bm{D}_{k-1}\widetilde{\bm{B}}_{k}^{T}(\widetilde{\bm{B}}_{k}\bm{D}_{k-1}\widetilde{\bm{B}}_{k}^{T}+\bm{D}_{\zeta_{k-1}})^{-1}\cdot\\ &(\bm{L}_{k}-\bm{H}_{k-1}\bm{L}_{k-1}-\widetilde{\bm{B}}_{k}\hat{\bm{X}}_{k-1}) \end{aligned} \tag{2-6-31}\] \[\begin{aligned} \hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1,k}={}&\hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1} -\widetilde{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{k-1}\widetilde{\bm{B}}_{k}^{T}(\widetilde{\bm{B}}_{k}\bm{D}_{k-1}\widetilde{\bm{B}}_{k}^{T}+{}\\ &\bm{D}_{\zeta_{k-1}})^{-1}\,(\bm{L}_{k}-\bm{H}_{k-1}\bm{L}_{k-1}-\widetilde{\bm{B}}_{k}\hat{\bm{X}}_{k-1})\\ ={}&\overline{\bm{L}}_{k-1}-\overline{\bm{B}}_{k-1}\hat{\bm{X}}_{k-1} -\widetilde{\bm{B}}_{k-1}\,(\hat{\bm{X}}_{k}-\hat{\bm{X}}_{k-1})\\ ={}&\overline{\bm{L}}_{k-1}-\overline{\bm{B}}_{k-1}\hat{\bm{X}}_{k} \end{aligned} \tag{2-6-32}\] 按 (2-6-9) 式还可得 \[\begin{aligned} &\operatorname{var}\begin{bmatrix}\hat{\bm{X}}_{k}\\ \hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1,k}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \bm{D}_{k} & \operatorname{cov}(\hat{\bm{X}}_{k},\hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1,k})\\ \operatorname{cov}(\hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1,k},\hat{\bm{X}}_{k}) & \operatorname{var}\hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1,k} \end{bmatrix}\\ =&\begin{bmatrix} \bm{D}_{k-1} & -\bm{D}_{k-1}\bm{B}_{k-1}^{T}\\ -\overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{k-1} & \overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{k-1}\widetilde{\bm{B}}_{k-1}^{T} \end{bmatrix}-{}\\ &\begin{bmatrix} \bm{D}_{\hat{X}_{k-1}}\widetilde{\bm{B}}_{k}^{T}\\ -\overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{\hat{X}_{k-1}}\widetilde{\bm{B}}_{k}^{T} \end{bmatrix} (\overline{\bm{B}}_{k}\bm{D}_{k-1}\widetilde{\bm{B}}_{k}^{T}+\bm{D}_{\zeta_{k-1}})^{-1} \begin{bmatrix}\widetilde{\bm{B}}_{k}\bm{D}_{k-1}&-\widetilde{\bm{B}}_{k}\bm{D}_{k-1}\widetilde{\bm{B}}_{k}^{T}\end{bmatrix} \end{aligned}\] 展开后得 \[\bm{D}_{k}=\bm{D}_{k-1}-\bm{D}_{\hat{X}_{k-1}}\widetilde{\bm{B}}_{k}^{T} (\widetilde{\bm{B}}_{k}\bm{D}_{k-1}\widetilde{\bm{B}}_{k}^{T}+\bm{D}_{\zeta_{k-1}})^{-1}\widetilde{\bm{B}}_{k}\bm{D}_{k-1} \tag{2-6-33}\] \[\left.\begin{aligned} \operatorname{var}(\hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1,k})&=\overline{\bm{B}}_{k-1}\bm{D}_{k}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T}\\ \operatorname{cov}(\hat{\bm{X}}_{k}\hat{\bar{\bm{\Delta}}}_{k-1,k})&=-\bm{D}_{k}\overline{\bm{B}}_{k-1}^{T} \end{aligned}\right\} \tag{2-6-34}\] 至此，也就导出了白噪声驱动下的有色噪声情况下的静态逐次滤波公式，其主要公式是 (2-6-32) 式、(2-6-34) 式和 (2-6-31) 式。

逐步配置

设将配置的观测方程写为 \[\left.\begin{aligned} \bm{L}_{1}&=\bm{B}_{1}\bm{X}+\bm{G}_{1}\bm{Y}+\bm{\Delta}_{1}\\ \bm{L}_{2}&=\bm{B}_{2}\bm{X}+\bm{G}_{2}\bm{Y}+\bm{\Delta}_{2}\\ &\cdots\\ \bm{L}_{v}&=\bm{B}_{v}\bm{X}+\bm{G}_{v}\bm{Y}+\bm{\Delta}_{v} \end{aligned}\right\} \tag{2-6-35}\] 式中 \(\bm{Y}\) 是倾向参数，其随机模型如 (2-6-2) 式。

根据广义最小二乘原理，也将 \(\hat{\bm{X}}_{0}\) 看作方差为 \(\bm{D}_{0}\) 的虚拟观测值，将信号 \(\bm{X}\) 看做非随机参数，则有误差方程 \[\left.\begin{aligned} \bm{V}_{X_{0}}&=\hat{\bm{X}}-\hat{\bm{X}}_{0}\\ \bm{V}_{1}&=\bm{B}_{1}\hat{\bm{X}}+\bm{G}_{1}\hat{\bm{Y}}-\bm{L}_{1}\\ \bm{V}_{2}&=\bm{B}_{2}\hat{\bm{X}}+\bm{G}_{2}\hat{\bm{Y}}-\bm{L}_{2}\\ &\cdots\\ \bm{V}_{v}&=\bm{B}_{v}\hat{\bm{X}}+\bm{G}_{v}\hat{\bm{Y}}-\bm{L}_{v} \end{aligned}\right\} \tag{2-6-36}\] 对 (2-6-36) 式进行逐次配置计算，也就是对 (2-6-37) 式进行逐次间接平差。这种算法可称为逐次配置的最小二乘算法。

对 (2-6-37) 式按逐次间接平差计算时，第一次平差是由其中的第一、二式平差，也就是对 (2-6-36) 的第一个观测方程按配置法求 \(\hat{\bm{X}}_{1}\)、\(\hat{\bm{Y}}_{1}\)，因此，根据 2-5 节的配置公式 (2-5-18)、(2-5-19)、(2-5-21)、(2-5-22) 和 (2-5-24) 可得到 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{Y}}_{1}&=\{\bm{G}_{1}^{T}(\bm{B}_{1}\bm{D}_{0}\bm{B}_{1}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{1}})^{-1}\bm{G}_{1}\}^{-1} \bm{G}_{1}^{T}(\bm{B}_{1}\bm{D}_{0}\bm{B}_{1}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{1}})^{-1}(\bm{L}_{1}-\bm{B}_{1}\bm{X}_{0})\\ \hat{\bm{X}}_{1}&=\hat{\bm{X}}_{0}+\bm{D}_{0}\bm{B}_{1}^{T}(\bm{B}_{1}\bm{D}_{0}\bm{B}_{1}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{1}})^{-1} (\bm{L}_{1}-\bm{G}_{1}\hat{\bm{Y}}_{1}-\bm{B}_{1}\hat{\bm{X}}_{0}) \end{aligned}\right\} \tag{2-6-37}\] \[\resizebox{\textwidth}{!}{$ \left.\begin{aligned} \bm{D}_{\hat{Y}_{1}}&=\{\bm{G}_{1}^{T}(\bm{B}_{1}\bm{D}_{0}\bm{B}_{1}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{1}})^{-1}\bm{G}_{1}\}^{-1}\\ \bm{D}_{1}&=\bm{D}_{0}-\bm{D}_{0}\bm{B}_{1}^{T}(\bm{B}_{1}\bm{D}_{0}\bm{B}_{1}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{1}})^{-1} \{\bm{E}-\bm{G}_{1}\bm{D}_{\hat{Y}_{1}}\bm{G}_{1}^{T}(\bm{B}_{1}\bm{D}_{0}\bm{B}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{1}})^{-1}\}\,\bm{B}_{1}\bm{D}_{0}\\ D(\hat{\bm{X}}_{1},\hat{\bm{Y}}_{1})&=-\bm{D}_{0}\bm{B}_{1}^{T}(\bm{B}_{1}\bm{D}_{0}\bm{B}_{1}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{1}})^{-1}\bm{G}_{1}\bm{D}_{Y} \end{aligned}\right\}$} \tag{2-6-38}\] 而在第 \(k-1\) 次平差求得 \(\hat{\bm{X}}_{k-1}\)、\(\hat{\bm{Y}}_{k-1}\) 和相应的方差阵之后，若设 \[\bm{V}_{Z_{k-1}}=\begin{bmatrix}\bm{V}_{X_{k-1}}\\ \bm{V}_{Y_{k-1}}\end{bmatrix},\quad \hat{\bm{Z}}_{k}=\begin{bmatrix}\hat{\bm{X}}_{k}\\ \hat{\bm{Y}}_{k}\end{bmatrix},\quad \bm{B}_{Z_{k}}=\begin{bmatrix}\bm{B}_{k}&\bm{G}_{k}\end{bmatrix} \tag{2-6-39}\] 则第 \(k\) 次平差的误差方程为 \[\left.\begin{aligned} \bm{V}_{Z_{k-1}}&=\hat{\bm{Z}}_{k}-\hat{\bm{Z}}_{k-1}\\ \bm{V}_{k}&=\bm{B}_{Z_{k}}\hat{\bm{Z}}_{k}-\bm{L}_{k} \end{aligned}\right\} \tag{2-6-40}\] 不难看出，对上式进行平差，可以得到 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{Z}}_{k}&=\hat{\bm{Z}}_{k-1}+\bm{D}_{Z_{k-1}}\bm{B}_{Z_{k}}^{T} (\bm{B}_{Z_{k}}\bm{D}_{Z_{k-1}}\bm{B}_{Z_{k}}^{T}+\bm{D}_{\Delta_{k}})^{-1} (\bm{L}_{k}-\bm{B}_{Z_{k}}\hat{\bm{Z}}_{k-1})\\ \bm{D}_{Z_{k}}&=\bm{D}_{Z_{k-1}}-\bm{D}_{Z_{k-1}}\bm{B}_{Z_{k}}^{T} (\bm{B}_{Z_{k}}\bm{D}_{Z_{k-1}}\bm{B}_{Z_{k}}^{T}+\bm{D}_{Z_{k}})^{-1}\bm{B}_{Z_{k}}\bm{D}_{Z_{k-1}} \end{aligned}\right\} \tag{2-6-41}\] 式中 \[\bm{D}_{Z_{k}}=\begin{bmatrix} \bm{D}_{k} & D(\hat{\bm{X}}_{k},\hat{\bm{Y}}_{k})\\ D(\hat{\bm{Y}}_{k},\hat{\bm{X}}_{k}) & \bm{D}_{\hat{Y}_{k}} \end{bmatrix}\] 当 \(k\geq 2\) 时，逐次配置公式就是 (2-6-42) 式。只有在 \(k=1\) 时按 (2-6-38)、(2-6-39) 式计算。

随机模型具有奇异协因数阵的平差

在论述各种经典平差方法的随机模型时，一般是要求观测误差或观测向量的方差阵为满秩阵（即非奇异阵），也就是要求它们的协因数阵为非奇异阵。现在来讨论它们是奇异阵的情况。由于滤波和配置问题都可以应用广义最小二乘原理转换为最小二乘平差问题，所以，这里只讨论观测向量具有奇异协因数阵的最小二乘平差。为讨论简便，只考虑线性模型。

使观测向量的协因数阵 \(\bm{Q}\) 为奇异阵的情况有以下两种：

(1) 观测向量 \(\bm{L}\) 中的一些分量是另一些分量的线性组合。若设 \(\bm{L}\) 的协因数阵 \(\bm{Q}\) 的秩为 \[\operatorname{rk}(\underset{n\times n}{\bm{Q}})=\operatorname{rk}(\underset{n_{1}\times n_{1}}{\bm{Q}_{11}})=n_{1}<n\] 其中 \(\bm{Q}_{11}\) 表示 \(\bm{L}\) 的分量 \(\underset{n_{1}\times 1}{\bm{L}_{1}}\) 的协因数阵，它是非奇异阵，而设另一些分量 \(\bm{L}_{2}\) 为 \(\bm{L}_{1}\) 的线性组合 \[\bm{L}_{2}=\bm{C}\bm{L}_{1} \tag{2-7-1}\] 则 \(\bm{L}_{1}\) 与 \(\bm{L}_{2}\) 的改正数有关系 \[\bm{V}_{2}=\bm{C}\bm{V}_{1} \tag{2-7-2}\] 且由协因数传播律可得 \[\left.\begin{aligned} \bm{Q}_{12}&=\bm{Q}_{11}\bm{C}^{T},\quad \bm{C}=\bm{Q}_{21}\bm{Q}_{11}^{-1}\\ \bm{Q}_{22}&=\bm{C}\bm{Q}_{11}\bm{C}^{T}=\bm{Q}_{21}\bm{Q}_{11}^{-1}\bm{Q}_{12} \end{aligned}\right\} \tag{2-7-3}\]

(2) \(\bm{L}\) 中的若干分量（\(\bm{L}_{0}\)）没有误差，此时可以认为 \(\bm{L}_{0}\) 的方差和协因数阵为零。实际上，这些分量（\(\bm{L}_{0}\)）就是固定值。

可记观测向量 \(\bm{L}\) 和它的协因数阵 \(\bm{Q}\) 为 \[\bm{L}=\begin{bmatrix}\bm{L}_{0}\\ \bm{L}_{1}\\ \bm{L}_{2}\end{bmatrix},\qquad \bm{Q}=\begin{bmatrix} \bm{0} & \bm{0} & \bm{0}\\ \bm{0} & \bm{Q}_{11} & \bm{Q}_{11}\bm{C}^{T}\\ \bm{0} & \bm{C}\bm{Q}_{11} & \bm{C}\bm{Q}_{11}\bm{C}^{T} \end{bmatrix}\] 若只考虑第一种情况，即有 \[\bm{L}=\begin{bmatrix}\bm{L}_{1}\\ \bm{L}_{2}\end{bmatrix},\qquad \bm{Q}=\begin{bmatrix}\bm{Q}_{11}&\bm{Q}_{12}\\ \bm{Q}_{21}&\bm{Q}_{22}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\bm{Q}_{11}&\bm{Q}_{11}\bm{C}^{T}\\ \bm{C}\bm{Q}_{11}&\bm{C}\bm{Q}_{11}\bm{C}^{T}\end{bmatrix}\] 本节只讨论第一种情况。第二种情况可以按通常的方法将 \(\bm{L}_{0}\) 作起算数据处理。而且本节只讨论平差函数模型中的系数阵是满秩的情况，而更广泛的情况将在下一节中再进一步讨论。

平差原则

当观测向量 \(\bm{L}\) 的协因数阵 \(\bm{Q}\) 为奇异阵，\(\bm{L}\) 是正态随机向量时，\(\bm{L}\) 的概率密度可写为 \[f(\bm{l},\bm{x})=(2\pi)^{-\frac{n_{1}}{2}}(\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n_{1}})^{-\frac{1}{2}} \exp\left\{-\frac{1}{2}(\bm{l}-\bm{\mu}_{L})^{T}\bm{D}^{-}(\bm{l}-\bm{\mu}_{L})\right\} \tag{2-7-4}\] 式中 \(\bm{D}^{-}\) 表示方差阵 \(\underset{n\times n}{\bm{D}}\) 的广义逆，\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n_{1}}\) 是 \(\bm{D}\) 的 \(n_{1}\) 个非零特征根，\(\underset{t\times 1}{\bm{X}}\) 是与 \(\bm{L}\) 有关的非随机参数向量。又设 \(\bm{L}\) 有观测方程 \[\bm{L}=\bm{B}\bm{X}+\bm{\Delta} \tag{2-7-5}\] 其中 \(\bm{\Delta}\) 为正态随机误差。因为 \[E(\bm{L})=\bm{\mu}_{L}=\bm{B}\bm{X}\] 所以，极大似然估计 \(f(\bm{l},\bm{x})=\max\) 等价于 \[\bm{V}^{T}\bm{D}^{-}\bm{V}=\min \tag{2-7-6}\] 式中 \[\bm{V}=\bm{B}\hat{\bm{X}}-\bm{L} \tag{2-7-7}\] 又因为 \(\bm{Q}=\sigma_{0}^{-2}\bm{D}\)，故 (2-7-6) 式可写为 \[\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{V}=\min \tag{2-7-8}\] 或写为 \[\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}=\min \tag{2-7-9}\] 式中 \[\bm{P}=\bm{Q}^{-}=\sigma_{0}^{2}\bm{D}^{-}\] 也称 (2-7-6) 式和 (2-7-9) 式为最小二乘原理，而称式中的 \(\bm{P}\) 为广义权阵。显然，广义权逆一般不是唯一的。(2-7-9) 式与以前的最小二乘原理的形式相同。所不同的是，在以前的最小二乘原理中 \(\bm{P}\) 是非奇异阵，对于选定的单位权方差 \(\sigma_{0}^{2}\)，它是唯一的，而这里的广义权阵不是唯一的。

若取 \[\bm{P}^{*}=\begin{bmatrix}\bm{Q}_{11}^{-1}&\bm{0}\\ \bm{0}&\bm{0}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\bm{P}_{1}&\bm{0}\\ \bm{0}&\bm{0}\end{bmatrix}\in\bm{Q}^{-}=\bm{P} \tag{2-7-10}\] 则有 \[\bm{V}^{T}\bm{P}^{*}\bm{V} =\begin{bmatrix}\bm{V}_{1}^{T}&\bm{V}_{2}^{T}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{P}_{1}&\bm{0}\\ \bm{0}&\bm{0}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{V}_{1}\\ \bm{V}_{2}\end{bmatrix} =\bm{V}_{1}^{T}\bm{P}_{1}\bm{V}_{1} \tag{2-7-11}\] 由 (2-7-10) 式构成的 \(\bm{P}^{*}\) 是 \(\bm{Q}\) 的一个特殊的广义逆，利用 \(\bm{P}^{*}\) 可以构成 \(\bm{Q}^{-}\) 的通式 \[\bm{Q}^{-}=\bm{P}=\bm{P}^{*}+\bm{U}-\bm{P}^{*}\bm{Q}\bm{U}\bm{Q}\bm{P}^{*}\] 其中 \(\bm{U}\) 是任意矩阵。则有 \[\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}=\bm{V}^{T}\bm{P}^{*}\bm{V}+\bm{V}^{T}\bm{U}\bm{V}-\bm{V}^{T}\bm{P}^{*}\bm{Q}\bm{U}\bm{Q}\bm{P}^{*}\bm{V}\] 式中 \[\bm{V}^{T}\bm{P}^{*}\bm{Q} =\begin{bmatrix}\bm{V}_{1}^{T}&\bm{V}_{2}^{T}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{Q}_{11}^{-1}&\bm{0}\\ \bm{0}&\bm{0}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{Q}_{11}&\bm{Q}_{12}\\ \bm{Q}_{21}&\bm{Q}_{22}\end{bmatrix}\] 将 (2-7-3) 式的关系代入上式，并顾及 (2-7-2) 式得 \[\bm{V}^{T}\bm{P}^{*}\bm{Q} =\begin{bmatrix}\bm{V}_{1}^{T}&\bm{V}_{1}^{T}\bm{Q}_{11}^{-1}\bm{Q}_{12}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\bm{V}_{1}^{T}&\bm{V}_{1}^{T}\bm{C}^{T}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\bm{V}_{1}^{T}&\bm{V}_{2}^{T}\end{bmatrix}=\bm{V}^{T}\] 所以 (2-7-9) 式可写为 \[\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}=\bm{V}^{T}\bm{P}^{*}\bm{V}=\bm{V}_{1}^{T}\bm{P}_{1}\bm{V}_{1}=\min \tag{2-7-12}\] 上式说明，按 \(\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{V}=\min\) 的原则进行平差，与按 \(\bm{V}_{1}^{T}\bm{P}_{1}\bm{V}_{1}=\min\) 进行平差的结果是一致的。

由于 \(\bm{P}_{1}\) 和 \(\bm{Q}_{11}\) 是非奇异阵，因此只要取 \(\bm{L}_{1}\) 按通常的方法平差即可。也就是说，当 \(\bm{Q}\) 为奇异阵时，可以将线性相关的那些观测值去掉之后按通常方法平差，其结果与取全部观测值及其任意的 \(\bm{Q}^{-}\) 阵按 \(\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{V}=\min\) 原则进行平差一致。

由于 \(\bm{Q}^{+}\in\bm{Q}^{-}\)，因此原则 \(\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{V}=\min\) 也可改为 \[\bm{V}^{T}\bm{Q}^{+}\bm{V}=\min \tag{2-7-13}\] 所以当观测值的协因数 \(\bm{Q}\) 为奇异阵时，平差原则可任取 (2-7-8)、(2-7-12) 式和 (2-7-13) 式，但 (2-7-8) 式具有普遍意义。

间接平差

误差方程 \[\underset{n\times 1}{\bm{V}}=\underset{n\times u}{\bm{B}}\,\underset{u\times 1}{\hat{\bm{x}}}-\underset{n\times 1}{\bm{l}} \tag{2-7-14}\] 其中 \(\operatorname{rk}(\bm{B})=u\)，协因数阵 \(|\bm{Q}|=0\)，\(\operatorname{rk}(\bm{Q})=n_{1}<n\)，\(n_{1}>u\)，这是具有奇异协因数阵的经典间接平差问题，按 \(\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{V}=\min\) 原则，得 \[\frac{\partial\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{V}}{\partial\hat{\bm{x}}}=2\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{B}=0\] 或 \[\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{B}\hat{\bm{x}}=\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{l} \tag{2-7-15}\] 法方程系数阵的 \(\operatorname{rk}(\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{B})=\operatorname{rk}(\bm{B})=u\)，有唯一解为 \[\hat{\bm{x}}=(\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{B})^{-1}\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{l} \tag{2-7-16}\] 其协因数阵为 \[\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}}=(\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{B})^{-1}\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{Q}\bm{Q}^{-}\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{B})^{-1}\] 因 \(\bm{Q}^{-}\) 为反射广义逆，\(\bm{Q}^{-}\bm{Q}\bm{Q}^{-}=\bm{Q}^{-}\)，故上式为 \[\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}}=(\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-1}\bm{B})^{-1} \tag{2-7-17}\] 仍设 \(\bm{L}_{2}=\bm{C}\bm{L}_{1}\)，则 (2-7-2)、(2-7-3) 式成立，相应的误差方程写成 \[\begin{bmatrix}\bm{V}_{1}\\ \bm{V}_{2}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\bm{B}_{1}\\ \bm{B}_{2}\end{bmatrix}\hat{\bm{x}} -\begin{bmatrix}\bm{l}_{1}\\ \bm{l}_{2}\end{bmatrix} \tag{2-7-18}\] 式中 \[\left.\begin{aligned} \bm{B}_{2}&=\bm{C}\bm{B}_{1}=\bm{Q}_{21}\bm{Q}_{11}^{-1}\bm{B}_{1}\\ \bm{l}_{2}&=\bm{C}\bm{l}_{1}=\bm{Q}_{21}\bm{Q}_{11}^{-1}\bm{l}_{1} \end{aligned}\right\} \tag{2-7-19}\] 取 \(\bm{Q}^{-}\) 的特殊逆 \[\bm{P}^{*}=\begin{bmatrix}\bm{Q}_{11}^{-1}&\bm{0}\\ \bm{0}&\bm{0}\end{bmatrix}\in\bm{Q}^{-}\] 可得 \[\left.\begin{aligned} \bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{B} &=\begin{bmatrix}\bm{B}_{1}^{T}&\bm{B}_{2}^{T}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{Q}_{11}^{-1}&\bm{0}\\ \bm{0}&\bm{0}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{B}_{1}\\ \bm{B}_{2}\end{bmatrix} =\bm{B}_{1}^{T}\bm{Q}_{11}^{-1}\bm{B}_{1}\\ \bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{l}&=\bm{B}_{1}^{T}\bm{Q}_{11}^{-1}\bm{l}_{1} \end{aligned}\right\} \tag{2-7-20}\] 则法方程的解为 \[\hat{\bm{x}}=(\bm{B}_{1}^{T}\bm{Q}_{11}^{-1}\bm{B}_{1})^{-1}\bm{B}_{1}^{T}\bm{Q}_{11}^{-1}\bm{l}_{1} \tag{2-7-21}\] 及 \[\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}}=(\bm{B}_{1}^{T}\bm{Q}_{11}^{-1}\bm{B}_{1})^{-1} \tag{2-7-22}\] 如按 \(\bm{V}^{T}\bm{Q}^{+}\bm{V}=\min\) 原则平差，则有 \[\hat{\bm{x}}=(\bm{B}^{T}\bm{Q}^{+}\bm{B})^{-1}\bm{B}^{T}\bm{Q}^{+}\bm{l} \tag{2-7-23}\] \[\bm{Q}_{\hat{x}\hat{x}}=(\bm{B}^{T}\bm{Q}^{+}\bm{B})^{-1} \tag{2-7-24}\]

广义 G-M 模型的平差问题

本节讨论对平差的随机模型不加任何限制，而函数模型与间接平差（G-M 模型）相同的平差问题，称这种数学模型为广义 Gauss-Markov 模型，简称为广义 G-M 模型。可以说，广义 G-M 模型是一种通过扩充随机模型对各种平差方法进行综合的数学模型。因而有的学者也将对广义 G-M 模型的讨论称为最小二乘统一理论。

设在广义 G-M 模型的随机模型中，观测向量 \(\bm{L}\) 的协因数阵 \(\bm{Q}\) 可以是奇异阵，而且使 \(\bm{Q}\) 为奇异阵的原因包括上节所述的两种情况：(1) 观测向量 \(\bm{L}\) 的分量 \(\underset{n_{2}\times 1}{\bm{L}_{2}}\) 是分量 \(\underset{n_{1}\times 1}{\bm{L}_{1}}\) 的线性组合；(2) 分量 \(\underset{n_{0}\times 1}{\bm{L}_{0}}\) 是方差为零的固定值。设 \[\bm{L}=\begin{bmatrix}\bm{L}_{0}\\ \bm{L}_{1}\\ \bm{L}_{2}\end{bmatrix},\qquad \bm{Q}=\begin{bmatrix} \bm{0} & \bm{0} & \bm{0}\\ \bm{0} & \bm{Q}_{11} & \bm{Q}_{12}\\ \bm{0} & \bm{Q}_{21} & \bm{Q}_{22} \end{bmatrix}\] 其中 \[\operatorname{rk}(\underset{n\times n}{\bm{Q}})=\operatorname{rk}(\underset{n_{1}\times n_{1}}{\bm{Q}_{11}})=n_{1}<n\] 且有 \[\bm{L}_{2}=\bm{C}\bm{L}_{1},\quad \bm{V}_{2}=\bm{C}\bm{V}_{1},\quad \bm{V}_{0}=0 \tag{2-8-1}\] \[\left.\begin{aligned} \bm{Q}_{12}&=\bm{Q}_{11}\bm{C}^{T},\quad \bm{C}=\bm{Q}_{21}\bm{Q}_{11}^{-1}\\ \bm{Q}_{22}&=\bm{Q}_{21}\bm{Q}_{11}^{-1}\bm{Q}_{12}=\bm{C}\bm{Q}_{11}\bm{C}^{T} \end{aligned}\right\} \tag{2-8-2}\] 由于将固定值当做方差为零的观测值 \(\bm{L}_{0}\)。所以，在选取 \(u\) 个未知参数之后，其函数模型总是可以写为 \[\bm{L}=\bm{B}\bm{X}+\bm{l}_{0}+\bm{\Delta} \tag{2-8-3}\] 或写出 \[\bm{V}=\bm{B}\hat{\bm{x}}-\bm{l} \tag{2-8-4}\] 式中 \[\left.\begin{aligned} -\bm{l}&=\bm{B}\bm{X}_{0}+\bm{l}_{0}-\bm{L}\\ \operatorname{rk}(\underset{n\times u}{\bm{B}})&\leq u \end{aligned}\right\} \tag{2-8-5}\] 容易理解，在函数模型中，对应于 \(\bm{L}_{0}\) 的一部分方程，也就是附有条件的间接平差中的条件方程。此时，用向量空间的概念来说，\(\bm{Q}\) 的值域空间 \(S(\bm{Q})\) 不包含系数阵 \(\bm{B}\) 的值域空间 \(S(\bm{B})\)，即 \[S(\bm{B})\not\subset S(\bm{Q})\] 如果设未知参数包括 \(\underset{u\times 1}{\bm{X}}\) 和被观测量 \(\underset{n\times 1}{\bm{Y}_{1}}\)，则有观测方程和条件方程 \[\left.\begin{aligned} \bm{L}_{1}&=\bm{Y}+\bm{\Delta}\\ \bm{A}\bm{Y}+\bm{A}_{X}\bm{X}-\bm{f}&=\bm{0} \end{aligned}\right\} \tag{2-8-6}\] 将 (2-8-6) 之第一式中的 \(\bm{Y}\) 代入第二式，就是条件平差的函数模型。若将 \(\bm{f}\) 视为方差为零的观测值 \(\bm{L}_{0}\)，则可将 (2-8-6) 式写为 \[\begin{bmatrix}\bm{L}_{0}\\ \bm{L}_{1}\\ \bm{L}_{2}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\bm{A}&\bm{A}_{X}\\ \bm{I}&\bm{0}\\ \bm{C}&\bm{0}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{Y}\\ \bm{X}\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}\bm{\Delta}_{0}\\ \bm{\Delta}_{1}\\ \bm{\Delta}_{2}\end{bmatrix} \tag{2-8-7}\] 这就将条件平差的数学模型表示为广义 G-M 模型了。

此外，还可以设 \(\operatorname{rk}(\bm{B})\leq u\)，即 \(\bm{B}\) 可能是秩亏阵。这样，广义 G-M 模型可以概括各种最小二乘平差模型，也就可以将它看成是一种统一的平差模型。

如 2-7 所述，在 \(\bm{Q}\) 为奇异阵时的最小二乘原理为 \[\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}=\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{V}=\min \tag{2-8-8}\] 式中 \(\bm{P}=\bm{Q}^{-}\) 是广义权阵。若取 \[\bm{P}^{*}=\begin{bmatrix} \bm{0} & \bm{0} & \bm{0}\\ \bm{0} & \bm{Q}_{11}^{-1} & \bm{0}\\ \bm{0} & \bm{0} & \bm{0} \end{bmatrix}\in\bm{Q}^{-}=\bm{P}\] 则因为 \[\bm{Q}\bm{P}^{*}\bm{V} =\begin{bmatrix} \bm{0} & \bm{0} & \bm{0}\\ \bm{0} & \bm{Q}_{11} & \bm{Q}_{12}\\ \bm{0} & \bm{Q}_{21} & \bm{Q}_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bm{0} & \bm{0} & \bm{0}\\ \bm{0} & \bm{Q}_{11}^{-1} & \bm{0}\\ \bm{0} & \bm{0} & \bm{0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm{0}\\ \bm{V}_{1}\\ \bm{V}_{2}\end{bmatrix} =\bm{V} \tag{2-8-9}\] 故对于任意的 \(\bm{Q}^{-}=\bm{P}\) 有 \[\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}=\bm{V}^{T}(\bm{P}^{*}+\bm{U}-\bm{P}^{*}\bm{Q}\bm{U}\bm{Q}\bm{P}^{*})\,\bm{V}\] 即得 \[\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{V}=\bm{V}^{T}\bm{P}^{*}\bm{V}=\bm{V}_{1}^{T}\bm{Q}_{11}^{-1}\bm{V}_{1}=\min \tag{2-8-10}\] 这就是说，对于广义 G-M 模型，\(\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{V}=\min\) 也等价于 \(\bm{V}_{1}^{T}\bm{Q}_{11}\bm{V}_{1}=\min\)。

下面根据 (2-8-8) 式表示的最小二乘原理来导出广义 G-M 模型的基础公式。

因为在 \(\bm{L}\) 中可能包含方差为零的固定值 \(\bm{L}_{0}\)，所以，函数模型 (2-8-4) 中的 \(\hat{\bm{X}}\) 不一定都是函数独立的变量。为此，在按 (2-8-8) 式对广义 G-M 模型求解时，应组成函数 \[\psi=\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{V}+2\bm{K}^{T}(-\bm{V}+\bm{B}\hat{\bm{x}}-\bm{l})\] 由 \[\begin{gathered} \frac{\partial\psi}{\partial\bm{V}}=2\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}-2\bm{K}^{T}=0\\ \frac{\partial\psi}{\partial\hat{\bm{x}}}=2\bm{K}^{T}\bm{B}=0 \end{gathered}\] 可得到 \[\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}=\bm{K}^{T} \tag{2-8-11}\] \[\bm{B}^{T}\bm{K}=0 \tag{2-8-12}\] 顾及 (2-8-9) 式，有 \[\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{Q}=\bm{V}^{T}(\bm{P}^{*}+\bm{U}-\bm{P}^{*}\bm{Q}\bm{U}\bm{Q}\bm{P}^{*})\,\bm{Q}=\bm{V}^{T}\] 故 (2-8-11) 式可写为 \[\bm{Q}\bm{K}=\bm{V} \tag{2-8-13}\] 由 (2-8-12)、(2-8-13) 式和 (2-8-4) 式可以求得 \(\hat{\bm{x}}\) 和 \(\bm{K}\)、\(\bm{V}\) 之值，但因为此时 \(S(\bm{B})\not\subset S(\bm{Q})\)，故应采用以下解法：

将 (2-8-12) 式两边左乘 \(\bm{B}\bm{U}\)，并与 (2-8-13) 式相加得 \[(\bm{Q}+\bm{B}\bm{U}\bm{B}^{T})\,\bm{K}=\bm{V} \tag{2-8-14}\] 式中 \(\bm{U}\) 是任意对称阵，且应使 \[S(\bm{B})\subset S(\bm{Q}+\bm{B}\bm{U}\bm{B}^{T})\] 或使 \[\operatorname{rk}(\bm{Q}+\bm{B}\bm{U}\bm{B}^{T})=\operatorname{rk}\begin{bmatrix}\bm{Q}&\bm{B}\end{bmatrix}\] 记 \(\bm{Q}_{u}=\bm{Q}+\bm{B}\bm{U}\bm{B}^{T}\)，则存在 \(\bm{C}\) 使 \(\bm{B}=\bm{Q}_{u}\bm{C}\)，因而有 \[\bm{Q}_{u}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}=\bm{Q}_{u}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{Q}_{u}\bm{C}=\bm{Q}_{u}\bm{C}=\bm{B} \tag{2-8-15}\]

由 (2-8-14) 式可得 \[\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{Q}_{u}\bm{K}=\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{V}\] 顾及 (2-8-14) 和 (2-8-12) 式即有 \[\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{V}=0 \tag{2-8-16}\] 再将 (2-8-4) 式代入上式，则得 \[\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}\hat{\bm{x}}=\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{l} \tag{2-8-17}\] 函数模型 (2-8-4) 与 (2-8-16) 式合在一起，就构成了消去 \(\bm{K}\) 之后的广义 G-M 模型的基础方程；而 (2-8-17) 式就是广义 G-M 模型的法方程。因为 \(\operatorname{rk}(\bm{B})\leq u\)，所以，它是一个相容方程，其一般解为 \[\hat{\bm{x}}=(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{l} \tag{2-8-18}\] 将 (2-8-4)、(2-8-16) 式和法方程 (2-8-17) 式与普通的 G-M 模型（间接平差）比较可知，它们也可以根据 \[\bm{V}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{V}=\bm{V}^{T}(\bm{Q}+\bm{B}\bm{U}\bm{B}^{T})^{-}\bm{V}=\min \tag{2-8-19}\] 得到。也就是说，可以将上式作为广义 G-M 模型的平差原则来导出 (2-8-16)、(2-8-17) 各式。

下面讨论法方程之解的几种情况：

(1) 系数阵 \(\bm{B}\) 为列满秩阵，且 \(\bm{L}\) 中不含固定值 \(\bm{L}_{0}\)，即有（\(t\) 为必要观测数） \[\left.\begin{aligned} \operatorname{rk}(\bm{B})&=u=t\\ n_{0}&=0,\ n=n_{1}+n_{2} \end{aligned}\right\}\] 此时仍有 \[\operatorname{rk}(\bm{Q})=\operatorname{rk}(\bm{Q}_{11})=n_{1}<n\] 即 \(\bm{L}\) 的协因数阵仍为奇异阵，但 \(S(\bm{B})\subset S(\bm{Q})\)，因而存在 \(\bm{C}\)，使 \(\bm{B}=\bm{Q}\bm{C}\)。故可取 \(\bm{U}=\bm{0}\)，\(\bm{Q}_{u}=\bm{Q}\)，并有 \[\begin{gathered} \bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}=\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{B}\\ \operatorname{rk}(\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{B})=\operatorname{rk}(\bm{B}_{1}^{T}\bm{Q}_{11}^{-1}\bm{B}_{1})=\operatorname{rk}(\bm{B})=u=t \end{gathered}\] 于是，(2-8-16)、(2-8-17) 和 (2-8-18) 各式变为 \[\left.\begin{aligned} \bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{V}&=0\\ \bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{B}\hat{\bm{x}}&=\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{l}\\ \hat{\bm{x}}&=(\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{B})^{-1}\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{l} \end{aligned}\right\} \tag{2-8-20}\] 这就是在不附条件时，只有第一类奇异协因数阵情况下的平差公式。可以看到，在这种情况下，其法方程具有唯一解。这就是 2-7 节所述的间接平差公式。

(2) 系数阵 \(\bm{B}\) 为列满秩，且 \(\bm{L}\) 中包含固定值 \(\bm{L}_{0}\)，即有 \[\begin{gathered} \operatorname{rk}(\bm{B})=u=t\\ n_{0}\neq 0,\ n=n_{0}+n_{1}+n_{2} \end{gathered}\] 此时，虽然 \(S(\bm{B})\not\subset S(\bm{Q})\)，但由于 \[\begin{gathered} S(\bm{B})\subset S(\bm{Q}+\bm{B}\bm{U}\bm{B}^{T})=S(\bm{Q}_{u})\\ \operatorname{rk}(\bm{Q}_{u})=\operatorname{rk}\begin{bmatrix}\bm{Q}&\bm{B}\end{bmatrix}\geq\operatorname{rk}(\bm{B})=u=t \end{gathered}\] 故 \(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}\) 是满秩阵，即 \[\operatorname{rk}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})=u=t\] 因此，(2-8-16)、(2-8-17) 和 (2-8-18) 各式变为 \[\left.\begin{aligned} \bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{V}&=0\\ \bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}\hat{\bm{x}}&=\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{l}\\ \hat{\bm{x}}&=(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-1}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{l} \end{aligned}\right\} \tag{2-8-21}\] 显然，此时的 \(\hat{\bm{x}}\) 有唯一解，而且，上面的第一种情况是它的特例。

(3) 系数阵 \(\bm{B}\) 为秩亏阵，有 \[t<\operatorname{rk}(\bm{B})<u\] 此时，也可以分别考虑 \(\bm{L}\) 中是否包含固定值 \(\bm{L}_{0}\)（即 \(n_{0}=0\) 和 \(n_{0}\neq 0\)）的情况。当 \(n_{0}=0\) 时，因 \(S(\bm{B})\subset S(\bm{Q})\)，仍可取 \(\bm{U}=\bm{0}\)，\(\bm{Q}_{u}=\bm{Q}\)，则法方程为 \[\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{B}\hat{\bm{x}}=\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{l} \tag{2-8-22}\] 其系数阵 \(\bm{B}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{B}\) 是秩亏阵。

当 \(n_{0}\neq 0\) 时，法方程为 \[\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}\hat{\bm{x}}=\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{l} \tag{2-8-23}\] 因 \(\operatorname{rk}(\bm{B})<u\)，所以 \(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}\) 也是秩亏阵。显然，(2-8-22) 式也是 (2-8-23) 式的特例。

因为 (2-8-22) 和 (2-8-23) 式都是相容的方程组，且它们的系数阵都是秩亏阵，所以，它们有无穷多组解。但可以求它们的唯一的最小范数解，也就是求 \(\hat{\bm{x}}\) 的唯一的最小二乘最小范数解，此时可得 \[\hat{\bm{x}}=(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})_{m}^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{l} \tag{2-8-24}\] 或 \[\hat{\bm{x}}=(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{+}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{l} \tag{2-8-25}\]

广义 G-M 模型下的精度和统计性质

可估量

为讨论广义 G-M 模型的精度和统计性质，先给出可估量的定义和充要条件。

可以看到，在广义 G-M 模型中，当 \(\operatorname{rk}(\bm{B})<u\) 时，法方程 (2-8-17) 的系数阵 \(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}\) 也是秩亏阵，因而它有无穷多组解，也就是说，在这种情况下，按最小二乘原理 (2-8-8) 求得的最小二乘解 \(\hat{\bm{x}}\) 不是唯一的。当然，\(\hat{\bm{x}}\) 的函数一般也不是唯一的。但也存在一些这样的函数 \(\bm{f}^{T}\bm{x}\)，对于任何估值 \(\bm{x}^{*}\)，函数 \(\bm{f}^{T}\bm{x}\) 的估值 \(\bm{f}^{T}\bm{x}^{*}\) 是唯一的。这种函数称为可估函数，或称为可估量，也可称为不变量。

可估量的定义是：对于参数 \(\bm{x}\) 的线性函数 \[\varPhi=\bm{f}^{T}\bm{x}+f_{0} \tag{2-9-1}\] 若存在 \(\bm{\varphi}^{T}(\bm{L}-\bm{B}\bm{X}_{0}-\bm{l}_{0})+f_{0}=\bm{\varphi}^{T}\bm{l}+f_{0}\)，使得 \[E\left[\bm{\varphi}^{T}(\bm{L}-\bm{B}\bm{X}_{0}-\bm{l}_{0})+f_{0}\right]=\bm{f}^{T}\bm{x}+f_{0} \tag{2-9-2}\] 对任何 \(\bm{x}\) 都成立，则称 \(\varPhi\) 是可估量或可估函数。

由 (2-8-3) 式知 \[E(\bm{L})=\bm{B}\bm{x}+\bm{B}\bm{X}_{0}+\bm{l}_{0}\] 因而有 \[E\left[\bm{\varphi}^{T}(\bm{L}-\bm{B}\bm{X}_{0}-\bm{l}_{0})+f_{0}\right]=\bm{\varphi}^{T}\bm{B}\bm{x}+f_{0}\] 与 (2-9-2) 式比较，可知 \[\bm{\varphi}^{T}\bm{B}\bm{x}=\bm{f}^{T}\bm{x} \tag{2-9-3}\] 所以，根据可估量的上述定义可知，若对于任何 \(\bm{x}\)，(2-9-3) 式成立，则 \(\varPhi\) 为可估量。

显然，(2-9-3) 式等价于 \[\bm{\varphi}^{T}\bm{B}=\bm{f}^{T} \tag{2-9-4}\] 也等价于 \[\bm{f}\in S(\bm{B}^{T}) \tag{2-9-5}\] 也就是说，当 \(\bm{f}\) 满足于 (2-9-3) 式或 (2-9-4) 式，或 (2-9-5) 式时，\(\varPhi=\bm{f}^{T}\bm{x}+f_{0}\) 就是可估量；反之，任何可估量均满足以上各式。因此，这三个式子都可以说是可估量的充要条件。

对于改正数 \(\bm{V}\)，有 \[\bm{l}+\bm{V}=\bm{B}\hat{\bm{x}}\] 式中 \(\bm{B}\) 相当于 (2-9-1) 式中的 \(\bm{f}^{T}\)，将 (2-8-18) 式代入，得 \[\bm{l}+\bm{V}=\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}(\bm{L}-\bm{B}\bm{X}_{0}-\bm{l}_{0})\] 即有 \[\bm{\varphi}^{T}\bm{B}=\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}=\bm{B}=\bm{f}^{T}\] 可见 \(\bm{l}+\bm{V}\) 是可估量，因为它满足 (2-9-4) 的可估量条件。容易理解改正数 \(\bm{V}\) 也是可估量，即不变量。

对于未知参数 \(\bm{x}\) 本身，由 (2-8-18) 知 \[\hat{\bm{x}}=(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{l}\] 式中 \((\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\) 相当于 (2-9-2) 中的 \(\bm{\varphi}^{T}\)，而 \(\bm{f}=\bm{E}\)，此时有 \[\bm{\varphi}^{T}\bm{B}=(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B} \begin{cases} =\bm{E}, & \text{当}\ \operatorname{rk}(\bm{B})=u\ \text{时}\\ \neq\bm{E}, & \text{当}\ \operatorname{rk}(\bm{B})<u\ \text{时} \end{cases}\] 可以看到，当 \(\operatorname{rk}(\bm{B})=u\) 时，\(\bm{x}\) 是可估量，而当 \(\operatorname{rk}(\bm{B})<u\) 时，\(\bm{x}\) 不是可估量。

可估量的协因数阵

可估量 (6-8-1) 的最小二乘估值为 \[\hat{\varPhi}=\bm{f}^{T}\hat{\bm{x}}+f_{0} \tag{2-9-6}\]

将 (2-8-18) 的 \(\hat{\bm{x}}\) 代入，得 \[\hat{\varPhi}=\bm{f}^{T}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{l}+f_{0} \tag{2-9-7}\] 这里设 \(f_{0}\) 是与 \(\bm{L}\) 无关的常量，则由传播律可得 \(\hat{\varPhi}\) 的协因数为 \[\begin{aligned} \bm{Q}_{\hat{\varPhi}}&=\bm{f}^{T}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{Q}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{f}\\ &=\bm{f}^{T}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}(\bm{Q}_{u}-\bm{B}\bm{U}\bm{B}^{T})\,\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{f} \end{aligned}\] 因为 \[S(\bm{B})\subset S(\bm{Q}_{u}),\qquad \bm{f}\in S(\bm{B}^{T})=S(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})\] 即存在矩阵 \(\bm{C}_{1}\)，\(\bm{C}_{2}\)，使 \[\bm{B}^{T}=\bm{C}_{1}\bm{Q}_{u},\qquad \bm{f}^{T}=\bm{C}_{2}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})\] 故有 \[\left.\begin{aligned} \bm{Q}_{u}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}&=\bm{Q}_{u}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{Q}_{u}\bm{C}_{1}^{T}=\bm{Q}_{u}\bm{C}_{1}^{T}=\bm{B}\\ \bm{f}^{T}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}&=\bm{f}^{T} \end{aligned}\right\} \tag{2-9-8}\] 所以 \[\bm{Q}_{\hat{\varPhi}}=\bm{f}^{T}\left[(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}-\bm{U}\right]\bm{f} \tag{2-9-9}\]

对于可估量 \(\hat{\bm{L}}\) 和 \(\bm{V}\)，因 \[\begin{gathered} \hat{\bm{L}}=\bm{L}+\bm{V}=\bm{B}\hat{\bm{x}}+(\bm{B}\bm{X}_{0}+\bm{l}_{0})\\ \bm{V}=\bm{B}\hat{\bm{x}}+(\bm{B}\bm{X}_{0}+\bm{l}_{0}-\bm{L}) \end{gathered}\] 也可写出微分关系式 \[\left.\begin{aligned} \mathrm{d}\hat{\bm{L}}&=\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\mathrm{d}\bm{L}\\ \mathrm{d}\bm{V}&=\left[\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}-\bm{E}\right]\mathrm{d}\bm{L} \end{aligned}\right\}\] 按误差传播律可得到 \(\hat{\bm{L}}\) 和 \(\bm{V}\) 的协因数阵为 \[\left.\begin{aligned} \bm{Q}_{\hat{L}}&=\bm{B}\left[(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}-\bm{U}\right]\bm{B}^{T}\\ \bm{Q}_{V}&=\bm{Q}_{u}-\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}=\bm{Q}-\bm{Q}_{\hat{L}}\\ \bm{Q}_{\hat{L}V}&=\bm{0} \end{aligned}\right\} \tag{2-9-10}\] 当 \(\operatorname{rk}(\bm{B})=u\) 时，因这时 \(\bm{x}\) 是可估量，所以，\(\hat{\bm{x}}\) 的协因数阵可直接由 (2-9-9) 式得： \[\bm{Q}_{\hat{X}}=(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-1}-\bm{U} \tag{2-9-11}\] 而当 \(\operatorname{rk}(\bm{B})=u\) 时的 \(\bm{Q}_{\hat{L}}\)、\(\bm{Q}_{V}\) 和 \(\bm{Q}_{\hat{\varPhi}}\) 可以写为 \[\left.\begin{aligned} \bm{Q}_{\hat{L}}&=\bm{B}\bm{Q}_{\hat{X}}\bm{B}^{T}\\ \bm{Q}_{V}&=\bm{Q}-\bm{B}\bm{Q}_{\hat{X}}\bm{B}^{T}\\ \bm{Q}_{\hat{\varPhi}}&=\bm{f}^{T}\bm{Q}_{\hat{X}}\bm{f} \end{aligned}\right\} \tag{2-9-12}\] 还可以求得它们之间的协因数阵，其结果列于表 2-13。

当 \(t<\operatorname{rk}(\bm{B})<u\) 时，若按 (2-8-24) 或 (2-8-25) 式求唯一的最小二乘最小范数解，则有 \[\bm{Q}_{\hat{X}}=(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})_{m}^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{Q}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}^{T}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-} \tag{2-9-13}\] 或 \[\bm{Q}_{\hat{X}}=(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{+}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{Q}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}^{T}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{+} \tag{2-9-14}\]

单位权方差的无偏估值

因为 \[\bm{V}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{V}=\operatorname{tr}(\bm{V}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{V})=\operatorname{tr}(\bm{Q}_{u}^{-}\bm{V}\bm{V}^{T}) \tag{2-9-15}\] 取数学期望，并考虑 \[E(\bm{V}\bm{V}^{T})=\bm{D}_{V}=\sigma_{0}^{2}\bm{Q}_{V}\] 式中 \(\sigma_{0}^{2}\) 为单位权方差。可得 \[E(\bm{V}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{V})=\operatorname{tr}\left[\bm{Q}_{u}^{-}E(\bm{V}\bm{V}^{T})\right] =\sigma_{0}^{2}\operatorname{tr}(\bm{Q}_{u}^{-}\bm{Q}_{V})\] 将 (2-9-10) 式中的 \(\bm{Q}_{V}\) 代入上式，得 \[\begin{aligned} E(\bm{V}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{V}) &=\sigma_{0}^{2}\operatorname{tr}\{\bm{Q}_{u}^{-}\left[\bm{Q}_{u}-\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\right]\}\\ &=\sigma_{0}^{2}\{\operatorname{tr}(\bm{Q}_{u}^{-}\bm{Q}_{u}) -\operatorname{tr}\left[\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\right]\} \end{aligned}\] 又因 \(\bm{Q}_{u}^{-}\bm{Q}_{u}\) 和 \(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\) 都是幂等阵，而有 \[\left.\begin{aligned} \operatorname{tr}(\bm{Q}_{u}^{-}\bm{Q}_{u})&=\operatorname{rk}(\bm{Q}_{u}^{-}\bm{Q}_{u})=\operatorname{rk}(\bm{Q}_{u})\\ \operatorname{tr}\left[\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\right] &=\operatorname{rk}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})=\operatorname{rk}(\bm{B}) \end{aligned}\right\}\] 所以 \[E(\bm{V}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{V})=\sigma_{0}^{2}\left[\operatorname{rk}(\bm{Q}_{u})-\operatorname{rk}(\bm{B})\right]\] 则得单位权方差的无偏估值公式为 \[\hat{\sigma}_{0}^{2}=\frac{\bm{V}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{V}}{\operatorname{rk}(\bm{Q}_{u})-\operatorname{rk}(\bm{B})} \tag{2-9-16}\] 当 \(n_{0}=0\) 时，\(\bm{Q}_{u}=\bm{Q}\)，则有 \[\hat{\sigma}_{0}^{2}=\frac{\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-}\bm{V}}{\operatorname{rk}(\bm{Q})-\operatorname{rk}(\bm{B})} \tag{2-9-17}\] 当 \(\operatorname{rk}(\bm{Q}_{u})=\operatorname{rk}(\bm{Q})=n\)，\(\operatorname{rk}(\bm{B})=u=t\) 时，即有 \[\hat{\sigma}_{0}^{2}=\frac{\bm{V}^{T}\bm{Q}^{-1}\bm{V}}{n-t} \tag{2-9-18}\]

可估量估值的无偏性和方差最小性

对于可估量 \(\varPhi=\bm{f}^{T}\bm{x}+f_{0}\)，按上述广义 G-M 模型所得的估值为 \[\hat{\varPhi}=\bm{f}^{T}\hat{\bm{x}}+f_{0} =\bm{f}^{T}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{l}+f_{0} \tag{2-9-19}\] 它的数学期望为 \[\begin{aligned} E(\hat{\varPhi})&=E\left[\bm{f}^{T}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}(\bm{L}-\bm{B}\bm{X}^{0}-\bm{l}_{0})\right]+f_{0}\\ &=\bm{f}^{T}(\bm{B}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\left[E(\bm{L})-\bm{B}\bm{X}_{0}-\bm{l}_{0}\right]+f_{0} \end{aligned}\] 而 \[\begin{gathered} E(\bm{L})=\bm{B}\bm{x}+\bm{B}\bm{X}_{0}+\bm{l}_{0}\\ \bm{f}^{T}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}=\bm{f}^{T} \end{gathered}\] 所以 \[E(\hat{\varPhi})=\bm{f}^{T}\bm{x}+f_{0} \tag{2-9-20}\] 这就是说，可估量的估值 \(\hat{\varPhi}\) 具有无偏性。

下面证明 (2-9-19) 式的可估量估值 \(\hat{\varPhi}\) 具有方差最小性。

设 \(\varPhi\) 有线性估值 \[\varPhi^{*}=\bm{f}^{T}\bm{x}^{*}+f_{0}=\alpha+\bm{\beta}\bm{L} \tag{2-9-21}\] 这里仍设 \(f_{0}\) 是与 \(\bm{L}\) 无关的常量。由无偏性知 \[E(\varPhi^{*})=\bm{f}^{T}\bm{x}+f_{0}=\alpha+\bm{\beta}E(\bm{L})\] 即有 \[\bm{f}^{T}\bm{x}+f_{0}=\alpha+\bm{\beta}(\bm{B}\bm{x}+\bm{B}\bm{X}_{0}+\bm{l}_{0})\] 可得 \[\alpha=f_{0}-\bm{\beta}(\bm{B}\bm{X}_{0}+\bm{l}_{0}) \tag{2-9-22}\] \[\bm{\beta}\bm{B}=\bm{f}^{T} \tag{2-9-23}\] 由 (2-9-21) 式可写出 \(\varPhi^{*}\) 的方差阵为 \[\bm{D}_{\varPhi^{*}}=\bm{\beta}\bm{Q}\bm{\beta}^{T}\sigma_{0}^{2} \tag{2-9-24}\] 为了求得使 \(\bm{D}_{\varPhi^{*}}\) 取最小值的 \(\bm{\beta}\)，应组成函数 \[\psi=\operatorname{tr}(\bm{\beta}\bm{Q}\bm{\beta}^{T})+2\operatorname{tr}\left[\bm{K}(\bm{\beta}\bm{B}-\bm{f}^{T})\right]\] 由 \[\frac{\partial\psi}{\partial\bm{\beta}}=2\bm{\beta}\bm{Q}+2\bm{K}^{T}\bm{B}^{T}=0\] 可得求 \(\bm{\beta}\) 的方程 \[\bm{Q}\bm{\beta}^{T}+\bm{B}\bm{K}=0 \tag{2-9-25}\] \[\bm{B}^{T}\bm{\beta}^{T}-\bm{f}=0 \tag{2-9-26}\] 因为式中的 \(\bm{Q}\) 是奇异阵，且 \(S(\bm{B})\not\subset S(\bm{Q})\)，故应采用以下方法求解 \(\bm{\beta}\)：将 (2-9-26) 式左乘 \(\bm{B}\bm{U}\)，并与 (2-9-25) 式相加，得 \[(\bm{Q}+\bm{B}\bm{U}\bm{B}^{T})\,\bm{\beta}^{T}+\bm{B}\bm{K}-\bm{B}\bm{U}\bm{f}=0\] 或写为 \[\bm{Q}_{u}\bm{\beta}^{T}=-\bm{B}(\bm{K}-\bm{U}\bm{f}) \tag{2-9-27}\] 式中 \(\bm{U}\) 仍表示任意对称阵，且使 \(S(\bm{B})\subset S(\bm{Q}_{u})\)。再将上式左乘 \(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\)，得 \[\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{Q}_{u}\bm{\beta}^{T}=-\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B}(\bm{K}-\bm{U}\bm{f})\] 因 \(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{Q}_{u}=\bm{B}^{T}\)，并顾及 (2-9-27) 式的关系，有 \[\begin{gathered} -(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})\,(\bm{K}-\bm{U}\bm{f})=\bm{f}\\ \bm{K}-\bm{U}\bm{f}=-(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{f} \end{gathered}\] 将它代入 (2-9-27)，得 \[\bm{Q}_{u}\bm{\beta}^{T}=\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{f}\] 所以 \[\bm{\beta}=\bm{f}^{T}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-} \tag{2-9-28}\] 则可由 (2-9-21) 式得到使 \(\bm{D}_{\varPhi^{*}}\) 取最小值的 \(\hat{\varPhi}\) 为 \[\hat{\varPhi}=\alpha+\bm{\beta}\bm{L}=\bm{\beta}(\bm{L}-\bm{B}\bm{X}_{0}-\bm{l}_{0})+f_{0}\] 即有 \[\hat{\varPhi}=\bm{f}^{T}\hat{\bm{x}}+f_{0} =\bm{f}^{T}(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{l}+f_{0} \tag{2-9-29}\] 由此也可得到 \[\hat{\bm{x}}=(\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{Q}_{u}^{-}\bm{l} \tag{2-9-30}\] 可以看到，(2-9-30) 式与上面由最小二乘原理 (2-8-8) 得到的 (2-8-18) 式相同，而 (2-9-29) 与 (2-9-7) 式相同。也就是说，由 (2-8-18) 和 (2-9-7) 两式得到的 \(\hat{\bm{x}}\) 和 \(\hat{\varPhi}\) 具有方差最小性。

向量空间理论中的平差问题

应用向量空间理论讨论平差问题，可以更深入地理解平差问题的实质，更直观地理解其几何概念。

投影和投影算子

设 \(n\) 维向量空间 \(R_{n}\) 可分解为两个子空间的直接和，且这两个子空间分别由矩阵 \(\bm{A}\)、\(\bm{B}\) 构成，即 \[R_{n}=S(\bm{A})\oplus S(\bm{B})\] 此时，对于一切 \(\bm{x}\in R_{n}\)，可以唯一地表示为 \[\bm{x}=\bm{x}_{1}+\bm{x}_{2}\] 其中 \(\bm{x}_{1}\in S(\bm{A})\)，\(\bm{x}_{2}\in S(\bm{B})\)。如果可以将 \(\bm{x}_{1}\) 写为 \[\bm{x}_{1}=\bm{P}_{A/B}\bm{x},\quad \bm{x}\in R_{n}\] 则称 \(\bm{x}_{1}\) 为 \(\bm{x}\) 从 \(R_{n}\) 沿 \(S(\bm{B})\) 到 \(S(\bm{A})\) 的投影，而称 \(\bm{P}_{A/B}\) 为投影算子。

投影算子 \(\bm{P}_{A/B}\) 具有以下性质：

(1) 对于任意实数 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，\(\bm{x}\in R_{n}\)，\(\bm{y}\in R_{n}\)，恒有 \[\bm{P}_{A/B}(\alpha\bm{x}+\beta\bm{y})=\alpha\bm{P}_{A/B}\bm{x}+\beta\bm{P}_{A/B}\bm{y}. \tag{2-10-1}\]

(2) 因为对于 \(\bm{x}_{1}\in S(\bm{A})\)，\(\bm{x}_{2}\in S(\bm{B})\) 和任意向量 \(y_{1}\)、\(y_{2}\)，当有 \(\bm{x}_{1}=\bm{A}y_{1}\)，\(\bm{x}_{2}=\bm{B}y_{2}\) 时，由 \[\begin{gathered} \bm{x}=\bm{x}_{1}+\bm{x}_{2}=\bm{A}y_{1}+\bm{B}y_{2}\\ \bm{x}_{1}=\bm{P}_{A/B}\bm{x}=\bm{P}_{A/B}(\bm{A}y_{1}+\bm{B}y_{2})=\bm{A}y_{1} \end{gathered}\] 可得 \[\left.\begin{aligned} \bm{P}_{A/B}\bm{A}&=\bm{A}\\ \bm{P}_{A/B}\bm{B}&=0 \end{aligned}\right\} \tag{2-10-2}\]

(3) 因为 \(\bm{P}_{A/B}(\bm{P}_{A/B}\bm{A})=\bm{P}_{A/B}\bm{A}=\bm{A}\)，所以 \[(\bm{P}_{A/B})^{2}=\bm{P}_{A/B}\] 即投影算子具有幂等性。

(4) 设有向量 \(\bm{y}\perp S(\bm{A})\)，则 \[\bm{y}^{T}\bm{A}=\bm{y}^{T}\bm{P}_{A/B}\bm{A}=0\] 于是 \[\bm{y}^{T}\bm{P}_{A/B}=0,\quad \bm{y}\perp S(\bm{P}_{A/B})\] 所以，算子 \(\bm{P}_{A/B}\) 与矩阵 \(\bm{A}\) 构成相同的子空间，且 \[\operatorname{rk}(\bm{A})=\operatorname{rk}(\bm{P}_{A/B})\]

如果 \(\bm{P}_{A/B}\) 是沿 \(S(\bm{B})\) 到 \(S(\bm{A})\) 的投影算子，且 \(S(\bm{A})\perp S(\bm{B})\)，则称它为正交投影算子，并记为 \(\bm{P}_{A}\)。

或者说，对于任意向量 \(\bm{x}\in R_{n}\)，将它分解为 \[\bm{x}=\bm{x}_{1}+\bm{x}_{2}\] 其中 \(\bm{x}_{1}\in S(\bm{A})\)，\(\bm{x}_{2}\in S(\bm{B})=S(\bm{A}^{\perp})\)，即对于任何 \(\bm{y}\in S(\bm{A})\)，都有 \(\bm{x}_{2},\bm{y})=0\)，如果可以将 \(\bm{x}_{1}\) 表示为 \[\bm{x}_{1}=\bm{P}_{A}\bm{x}\] 则称 \(\bm{x}_{1}\) 为 \(\bm{x}\) 在 \(S(\bm{A})\) 上的正交投影，称 \(\bm{P}_{A}\) 为正交投影算子。

因为对于 \(\bm{x}_{1}\in S(\bm{A})\)，\(\bm{x}_{2}\in S(\bm{B})\) 有 \[\begin{gathered} \bm{x}_{1}=\bm{P}_{A}\bm{x},\quad \bm{x}_{2}=\bm{P}_{B}\bm{x}\\ \bm{P}_{A}\bm{x}_{2}=0,\quad \bm{P}_{B}\bm{x}_{1}=0 \end{gathered}\] 可得 \[\begin{gathered} \bm{P}_{A}\bm{x}_{2}=\bm{P}_{A}\bm{P}_{B}\bm{x}=0\\ \bm{x}=\bm{x}_{1}+\bm{x}_{2}=(\bm{P}_{A}+\bm{P}_{B})\,\bm{x} \end{gathered}\] 因此，正交投影算子除具有投影算子的上述性质外，还具有性质 \[\left.\begin{aligned} \bm{P}_{A}\bm{P}_{B}&=\bm{P}_{B}\bm{P}_{A}=0\\ \bm{P}_{A}+\bm{P}_{B}&=\bm{E} \end{aligned}\right\} \tag{2-10-3}\]

设 \(\bm{C}=\bm{B}^{\perp}\)，即 \(\bm{C}^{T}\bm{B}=0\)，而由 (2-10-2) 式知 \(\bm{P}_{A/B}\bm{B}=0\)，所以，存在矩阵 \(\bm{K}\)，使 \[\bm{P}_{A/B}=\bm{K}\bm{C}^{T}\] 又因 \(\bm{P}_{A/B}\bm{A}=\bm{A}\)，故得 \[\begin{gathered} \bm{P}_{A/B}\bm{A}=\bm{K}\bm{C}^{T}\bm{A}=\bm{A}\\ \bm{K}=\bm{A}(\bm{C}^{T}\bm{A})^{-} \end{gathered}\] 这就得到投影算子的一个表达式 \[\bm{P}_{A/B}=\bm{A}(\bm{C}^{T}\bm{A})^{-}\bm{C}^{T} \tag{2-10-4}\] 若 \(S(\bm{A})\) 与 \(S(\bm{B})\) 互为正交补，即 \(S(\bm{B})\perp S(\bm{A})\)，\(\bm{B}=\bm{A}^{\perp}\)，则当内积定为 \((\bm{x},\bm{y})=\bm{x}^{T}\bm{y}\) 时，得正交投影算子为 \[\bm{P}_{A}=\bm{A}(\bm{A}^{T}\bm{A})^{-}\bm{A}^{T} \tag{2-10-5}\] 类似地有 \[\bm{P}_{B}=\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T} \tag{2-10-6}\] 而当内积定为 \[(\bm{x},\bm{y})=\bm{x}^{T}\bm{P}\bm{y}\ (\text{$\bm{P}$ 为正定阵})\] 时，则有 \[\left.\begin{aligned} \bm{P}_{A}&=\bm{A}(\bm{A}^{T}\bm{P}\bm{A})^{-}\bm{A}^{T}\bm{P}\\ \bm{P}_{B}&=\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{P} \end{aligned}\right\} \tag{2-10-7}\]

如果取 \[\bm{C}^{T}=\bm{A}^{T}(\bm{E}-\bm{P}_{B})=\bm{A}^{T}\left[\bm{E}-\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\right] \tag{2-10-8}\] 因为 (2-10-8) 式的 \(\bm{C}^{T}\) 满足 \[\bm{C}^{T}\bm{B}=\bm{A}^{T}\bm{B}-\bm{A}^{T}\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T}\bm{B}=0\] 所以，可得到投影算子 \(\bm{P}_{A/B}\) 的另一种表达式为 \[\bm{P}_{A/B}=\bm{A}(\bm{A}^{T}\bm{Q}_{B}\bm{A})^{-}\bm{A}^{T}\bm{Q}_{B} \tag{2-10-9}\] 式中 \[\bm{Q}_{B}=\bm{E}-\bm{P}_{B}=\bm{E}-\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{B})^{-}\bm{B}^{T} \tag{2-10-10}\] 容易验证，(2-10-9) 式的 \(\bm{P}_{A/B}\) 满足 (2-10-2) 式性质，即有 \[\begin{aligned} \bm{P}_{A/B}\bm{A}&=\bm{A}(\bm{A}^{T}\bm{Q}_{B}\bm{A})^{-}\bm{A}^{T}\bm{Q}_{B}\bm{A}=\bm{A}\\ \bm{P}_{A/B}\bm{B}&=\bm{A}(\bm{A}^{T}\bm{Q}_{B}\bm{A})^{-}\bm{A}^{T}\bm{Q}_{B}\bm{B}\\ &=\bm{A}(\bm{A}^{T}\bm{Q}_{B}\bm{A})^{-}\bm{A}^{T}\bm{B} -\bm{A}(\bm{A}^{T}\bm{Q}_{B}\bm{A})^{-}\bm{A}^{T}\bm{P}_{B}\bm{B}=0 \end{aligned}\]

最小二乘原理

线性代数中的一个基本问题是求解线性方程组 \[\underset{n\times t}{\bm{A}}\,\underset{t\times 1}{\bm{X}}=\underset{n\times 1}{\bm{b}} \tag{2-10-11}\] 这个线性方程组有解的充要条件是 \[\operatorname{rk}(\bm{A})=\operatorname{rk}\begin{bmatrix}\bm{A}&\bm{b}\end{bmatrix}\] 这个条件等价于 \[\bm{b}\in S(\bm{A})\] 也等价于 \[S(\bm{A})=S(\begin{bmatrix}\bm{A},\bm{b}\end{bmatrix})=S(\bm{A})+S(\bm{b})\] 如果方程组 (2-10-11) 不满足这个条件，则称为矛盾方程组，或不相容方程组。矛盾方程组没有普通意义下的解，但这类方程组在许多实际问题中经常出现。通常要求得到解 \(\bm{X}\)，使它满足 \[\|\bm{A}\bm{X}-\bm{b}\|^{2}=\min \tag{2-10-12}\] 并称这种问题为求最小二乘解问题。当 \(\operatorname{rk}(\bm{A})<t\) 时，其解也不是唯一的。(2-10-12) 式表示在 \(S(\bm{A})\) 中求得的向量 \(\bm{A}\bm{X}\) 与 \(\bm{b}\) 之间的“距离”最短。

在测量平差中，对于观测方程 \[\bm{L}=\bm{B}\bm{X}+\bm{\Delta} \tag{2-10-13}\] 其中观测误差 \(\bm{\Delta}\) 是未知的，因此，实际上给出的是矛盾方程组 \[\bm{B}\bm{X}=\bm{L} \tag{2-10-14}\] 根据 (2-10-12) 式解此方程，也就是在 \[\|\bm{B}\hat{\bm{X}}-\bm{L}\|^{2}=\bm{V}^{T}\bm{V}=\min \tag{2-10-15}\] 的要求下求解 \(\hat{\bm{X}}\)，式中 \(\bm{V}=\bm{B}\hat{\bm{X}}-\bm{L}\)。可以看到，上式就是等权情况下的最小二乘原理。而加权最小二乘原理的形式是 \[\|\bm{B}\hat{\bm{X}}-\bm{L}\|_{p}^{2}=\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}=\min \tag{2-10-16}\] 下面来证明，\(\bm{B}\hat{\bm{X}}\) 是 \(\bm{L}\) 在 \(S(\bm{B})\) 中的正交投影。

考虑等权的情况，先将向量 \(\bm{B}\bm{X}-\bm{L}\) 分解成两个互相正交的向量之和，设为 \[\bm{B}\bm{X}-\bm{L}=(\bm{B}\bm{X}-\bm{P}_{B}\bm{L})+(\bm{P}_{B}\bm{L}-\bm{L}) \tag{2-10-17}\] 因为 \(\bm{B}\bm{X}-\bm{P}_{B}\bm{L}\in S(\bm{B})\)，且 \[\bm{P}_{B}\bm{L}-\bm{L}=-(\bm{I}-\bm{P}_{B})\,\bm{L}\in S^{\perp}(\bm{B})\] 所以，向量 \(\bm{B}\bm{X}-\bm{P}_{B}\bm{L}\) 和 \(\bm{P}_{B}\bm{L}-\bm{L}\) 互相正交，从而有 \[\|\bm{B}\bm{X}-\bm{L}\|^{2} =\|\bm{B}\bm{X}-\bm{P}_{B}\bm{L}\|^{2}+\|\bm{P}_{B}\bm{L}-\bm{L}\|^{2} \geq\|\bm{P}_{B}\bm{L}-\bm{L}\|^{2}. \tag{2-10-18}\] 由此可知，欲使 \(\hat{\bm{X}}\) 满足 (2-10-15) 式的要求，其充要条件是 \[\bm{B}\hat{\bm{X}}=\bm{P}_{B}\bm{L} \tag{2-10-19}\] 这就是说，\(\bm{B}\hat{\bm{X}}\) 是 \(\bm{L}\) 在 \(S(\bm{B})\) 中的正交投影。

间接平差（G-M 模型）

考虑普通的等权情况下的间接平差，也就是所谓标准 G-M 模型。即设观测向量 \(\underset{n\times 1}{\bm{L}}\) 的协因数为 \(\underset{n\times n}{\bm{E}}\)，为叙述简便，设误差方程为 \[\underset{n\times 1}{\bm{V}}=\underset{n\times t}{\bm{B}}\,\underset{t\times 1}{\hat{\bm{X}}}-\underset{n\times 1}{\bm{L}} \tag{2-10-20}\] 其中 \(\operatorname{rk}(\bm{B})=t\)。

观测向量 \(\bm{L}\) 是 \(n\) 维向量空间 \(R_{n}\) 中的一个向量，通常称 \(R_{n}\) 为观测空间。由 (2-10-20) 式进行平差，就是根据上述最小二乘原理 (2-10-15) 求矛盾方程 (2-10-14) 的最小二乘解。就是要在 \(S(\bm{B})\) 中找出向量 \(\hat{\bm{L}}=\bm{B}\hat{\bm{X}}\)，使它到 \(\bm{L}\) 的“距离”为最短。如上所述，此时的 \(\hat{\bm{L}}=\bm{B}\hat{\bm{X}}\)，应该是 \(\bm{L}\) 在 \(S(\bm{B})\) 中的正交投影，即 \[\hat{\bm{L}}=\bm{B}\hat{\bm{X}}=\bm{P}_{B}\bm{L} \tag{2-10-21}\] 对于标准 G-M 模型，观测空间 \(R_{n}\) 的内积为 \((\bm{x},\bm{y})=\bm{x}^{T}\bm{y}\)。故正交投影算子 \(\bm{P}_{B}\) 为 \[\bm{P}_{B}=\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{B})^{-1}\bm{B}^{T}\] 所以 \[\hat{\bm{L}}=\bm{B}\hat{\bm{X}}=\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{B})^{-1}\bm{B}^{T}\bm{L} \tag{2-10-22}\] 将上式左乘 \(\bm{B}^{T}\)，即得到 \[\bm{B}^{T}\bm{B}\hat{\bm{X}}=\bm{B}^{T}\bm{L} \tag{2-10-23}\] \[\hat{\bm{X}}=(\bm{B}^{T}\bm{B})^{-1}\bm{B}^{T}\bm{L} \tag{2-10-24}\] (2-10-23) 式也就是间接平差的法方程。

再将 \(\bm{B}\hat{\bm{X}}\) 之值代入 (2-10-20) 式，可得残差（改正数）向量 \[\bm{V}=\hat{\bm{L}}-\bm{L}=-(\bm{E}-\bm{P}_{B})\,\bm{L}=-\bm{P}_{B}\perp\bm{L} \tag{2-10-25}\] 或写为 \[\bm{V}=\left[\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{B})^{-1}\bm{B}^{T}-\bm{E}\right]\bm{L} \tag{2-10-26}\]

对于观测向量的协因数阵不是单位阵，而是对称正定阵 \(\bm{P}\) 的情况，可将观测空间 \(R_{n}\) 的内积定义为 \((\bm{x},\bm{y})=\bm{x}^{T}\bm{P}\bm{y}\)。此时由 (2-10-7) 式可知，正交投影算子为 \[\bm{P}_{B}=\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B})^{-1}\bm{B}^{T}\bm{P}\] 相应地得到 \[\left.\begin{aligned} \hat{\bm{L}}&=\bm{B}\hat{\bm{X}}=\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B})^{-1}\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{L}\\ \bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B}\hat{\bm{X}}&=\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{L}\\ \bm{V}&=-\bm{P}_{B}\perp\bm{L}=\left[\bm{B}(\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B})^{-1}\bm{B}^{T}\bm{P}-\bm{E}\right]\bm{L} \end{aligned}\right\} \tag{2-10-27}\]

条件平差

也考虑观测向量的协因数阵 \(\bm{Q}=\bm{E}\) 的普通的不带未知数的情况。设条件方程为 \[\bm{A}\bm{V}-\bm{f}=0 \tag{2-10-28}\] 式中 \[-\bm{f}=\bm{A}\bm{L} \tag{2-10-29}\] 因为对于任意的 \(\bm{X}\)，由 (2-10-20) 式得到的 \(\bm{V}\) 都满足条件方程 (2-10-28)，即有 \[\bm{A}\bm{B}\bm{X}-(\bm{f}+\bm{A}\bm{L})=0\] 故恒有 \[\left.\begin{aligned} \bm{A}\bm{B}&=0\\ \bm{A}^{T}&=\bm{B}^{\perp} \end{aligned}\right\} \tag{2-10-30}\] 由 (2-10-25) 式可得 \[\bm{V}=\hat{\bm{L}}-\bm{L}=-\bm{P}_{B}\perp\bm{L}=-\bm{P}_{A^{T}}\bm{L} \tag{2-10-31}\] 又因为 \[\bm{P}_{A^{T}}=\bm{A}^{T}(\bm{A}\bm{A}^{T})^{-1}\bm{A}\] 所以 \[\bm{V}=-\bm{A}^{T}(\bm{A}\bm{A}^{T})^{-1}\bm{A}\bm{L}=\bm{A}^{T}(\bm{A}\bm{A}^{T})^{-1}\bm{f} \tag{2-10-32}\] 再设 \[\bm{K}=(\bm{A}\bm{A}^{T})^{-1}\bm{f}\] 即得 \[\bm{A}\bm{A}^{T}\bm{K}-\bm{f}=0 \tag{2-10-33}\] \[\bm{V}=\bm{A}^{T}\bm{K} \tag{2-10-34}\] (2-10-33) 式就是条件平差的法方程，(2-10-24) 式就是改正数方程。

对于协因数阵 \(\bm{Q}\,(\neq\bm{E})\) 为对称正定阵的情况，也将内积定义为 \((\bm{x},\bm{y})=\bm{x}^{T}\bm{P}\bm{y}=\bm{x}^{T}\bm{Q}^{-1}\bm{y}\)，则 (2-10-30) 式变为 \[\left.\begin{aligned} \bm{A}\bm{B}&=(\bm{A}\bm{Q})\,\bm{P}\bm{B}=\overline{\bm{A}}\bm{P}\bm{B}=0\\ \bm{B}^{\perp}&=\overline{\bm{A}}^{T}=\bm{Q}\bm{A}^{T} \end{aligned}\right\} \tag{2-10-35}\] 且有 \[\begin{aligned} \bm{V}&=\hat{\bm{L}}-\bm{L}=-\bm{P}_{B}\perp\bm{L}=-\bm{P}_{\overline{A}^{T}}\bm{L}\\ \bm{P}_{\overline{A}^{T}}&=\bm{Q}\bm{A}^{T}(\bm{A}\bm{Q}\bm{P}\bm{Q}\bm{A}^{T})^{-1}\bm{A}\bm{Q}\bm{P}\\ &=\bm{Q}\bm{A}^{T}(\bm{A}\bm{Q}\bm{A}^{T})^{-1}\bm{A} \end{aligned}\] 所以，法方程和改正数方程为 \[\left.\begin{aligned} \bm{A}\bm{Q}\bm{A}^{T}\bm{K}-\bm{f}&=0\\ \bm{V}&=\bm{Q}\bm{A}^{T}\bm{K} \end{aligned}\right\} \tag{2-10-36}\]

秩亏自由网平差

采用第 2 章的符号，设观测向量 \(\bm{L}\) 的协因数阵为 \(\bm{Q}=\bm{P}^{-1}\)，误差方程写为 \[\underset{n\times 1}{\bm{V}}=\underset{n\times u}{\bm{B}}\,\underset{u\times 1}{\bm{x}}-\underset{n\times 1}{\bm{l}} \tag{2-10-37}\] 式中 \(\bm{x}\) 表示未知参数 \(\bm{X}\) 相对于参考系 \(\bm{X}_{0}\) 的改正数，\(\bm{B}\) 为秩亏阵，即有 \[\begin{gathered} \operatorname{rk}(\bm{B})=t<u,\qquad d=u-t\\ \bm{x}=\bm{X}-\bm{X}_{0} \end{gathered}\] 在 \(\|\bm{B}\bm{x}-\bm{l}\|_{p}^{2}=\bm{V}^{T}\bm{P}\bm{V}=\min\) 的原则下求最小二乘解，可得法方程 \[\bm{N}\bm{x}-\bm{W}=0 \tag{2-10-38}\] 式中，\(\bm{N}=\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{B}\)，\(\bm{W}=\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{l}\)。

由于 \(\operatorname{rk}(\bm{N})=\operatorname{rk}(\bm{B})=t<u\)，即 \(\bm{N}\) 也是秩亏阵，因此，满足 (2-10-38) 式的最小二乘解有无穷多个。为此，需要根据 \[\|\bm{x}\|^{2}=\bm{x}^{T}\bm{x}=\min \tag{2-10-39}\] 求 \(\bm{x}\) 的最小范数解 \(\hat{\bm{x}}\)。

设 \(\bm{x}\) 和 \(\bm{x}_{0}\) 均为方程 (2-10-38) 的解。因为 \[\bm{N}(\bm{x}-\bm{x}_{0})=0\] 所以 \(\bm{x}-\bm{x}_{0}\in N(\bm{N})\)。\(N(\bm{N})\) 表示 \(\bm{N}\) 的化零空间。若又设 \(\bm{x}_{0}\in N^{\perp}(\bm{N})=S(\bm{N}^{T})=S(\bm{N})\)，则可将 \(\bm{x}\) 分解为 \[\bm{x}=(\bm{x}-\bm{P}_{N}\bm{x}_{0})+\bm{P}_{N}\bm{x}_{0} \tag{2-10-40}\] 因为当内积为 \((\bm{x},\bm{y})=\bm{x}^{T}\bm{y}\) 时，正交投影算子 \(\bm{P}_{N}\) 为 \[\bm{P}_{N}=\bm{N}(\bm{N}\bm{N})^{-}\bm{N}=\bm{P}_{N}^{T}\] 所以 \[\begin{aligned} (\bm{x}-\bm{P}_{N}\bm{x}_{0})^{T}\bm{P}_{N}\bm{x}_{0} &=\bm{x}^{T}\bm{P}_{N}\bm{x}_{0}-\bm{x}_{0}^{T}\bm{P}_{N}^{T}\bm{P}_{N}\bm{x}_{0}\\ &=\bm{x}^{T}\bm{P}_{N}\bm{x}_{0}-\bm{x}_{0}^{T}\bm{P}_{N}\bm{x}_{0} =(\bm{x}-\bm{x}_{0})^{T}\bm{N}(\bm{N}\bm{N})^{-}\bm{N}\bm{x}_{0}\\ &=0 \end{aligned}\] 即向量 \(\bm{x}-\bm{P}_{N}\bm{x}_{0}\) 与 \(\bm{P}_{N}\bm{x}_{0}\) 是互相正交的。从而有 \[\|\bm{x}\|^{2}=\|\bm{x}-\bm{P}_{N}\bm{x}_{0}\|^{2}+\|\bm{P}_{N}\bm{x}_{0}\|^{2} \tag{2-10-41}\] 由此可知，欲使 \(\hat{\bm{x}}\) 满足 (2-10-39) 式的范数最小的要求，其充要条件是 \[\hat{\bm{x}}=\bm{P}_{N}\bm{x}_{0} \tag{2-10-42}\] 也就是说，\(\hat{\bm{x}}\) 是 \(\bm{x}_{0}\in S(\bm{N})\) 在 \(S(\bm{N})\) 或 \(N^{\perp}(\bm{N})\) 中的正交投影。顾及 \(\bm{N}\bm{x}_{0}=\bm{W}=\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{l}\) 可得 \[\hat{\bm{x}}=\bm{N}(\bm{N}\bm{N})^{-}\bm{W}=\bm{N}(\bm{N}\bm{N})^{-}\bm{B}^{T}\bm{P}\bm{l} \tag{2-10-43}\] 上式就是秩亏自由网平差直接解法的公式。

再假定有矩阵 \(\underset{u\times d}{\bm{G}}\)，\(\operatorname{rk}(\bm{G})=d\)，满足 \[\bm{N}\bm{G}=0 \tag{2-10-44}\] 即 \(\bm{N}^{T}=\bm{N}\perp\bm{G}\)，\(S(\bm{N})\perp S(\bm{G})\)，则 \[\bm{P}_{N}=\bm{E}-\bm{P}_{G}=\bm{E}-\bm{G}(\bm{G}^{T}\bm{G})^{-1}\bm{G}^{T} \tag{2-10-45}\] 于是得 \[\hat{\bm{x}}=\left[\bm{E}-\bm{G}(\bm{G}^{T}\bm{G})^{-1}\bm{G}^{T}\right]\bm{x}_{0} \tag{2-10-46}\] 当取 \(\bm{G}\) 满足 \[\bm{G}^{T}\bm{G}=\bm{E}\] 时，有 \[\hat{\bm{x}}=(\bm{E}-\bm{G}\bm{G}^{T})\,\bm{x}_{0} \tag{2-10-47}\] (2-10-46) 式和 (2-10-47) 式就是秩亏自由网平差的转换公式。